线性变换 Linear transformations

线性映射 linear maps.

Kernel, image and the rank-nullity theorem.

线性方程组与子空间

定理：方程组 \(A \cdot x = 0\) 的基础解系构成零空间 \(Null\ A\) 的一组基（废话）
零空间本身就是由0元素列组成的空间，而Ax = 0，x只能为全是0的向量

定理：回顾：若存在矩阵 \(B \in M_n(\mathbb{R})\) 使得 \(AB = BA = Id\)（单位矩阵），则称矩阵 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) 可逆。等价地，矩阵 A 可逆当且仅当 \(ker\ A = \{0_V\}\)，或当且仅当 \(det\ A \neq 0\)。（废话）

定义 4：设 \(A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})\) 是 \(m \times n\) 实矩阵，A 的行空间（Row\ A）是 A 的行向量张成的空间。

定理 3：设 \(A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})\)，\(E \in M_m(\mathbb{R})\) 和 \(F \in M_n(\mathbb{R})\) 是可逆矩阵，则 \(Row(A) = Row(EA)\) 且 \(Col(A) = Col(AF)\)
初等行变换不改变行向量的线性关系（比如，行交换、行缩放、行倍加都不会改变 “哪些行向量能被其他行向量线性表示” 这一性质）。因此，A 经过左乘可逆矩阵 E 后，行向量张成的空间（行空间）保持不变，即 \(\text{Row}(A) = \text{Row}(EA)\)

基变换公式

只要知道线性变换在一组基上的作用，就能知道它在整个向量空间上的作用。

\(\text{Mat}_{F,E}(Id)\) 是 “从基 E 到基 F 的恒等变换的矩阵表示”

步骤 1：明确核心概念

• 线性映射的矩阵表示：若线性映射 \(T: V \to V\) 在基 E 下的矩阵为 \(\text{Mat}_E(T)\)，在基 F 下的矩阵为 \(\text{Mat}_F(T)\)，则两者满足基变换公式：\(\text{Mat}_F(T) = \text{Mat}_{E,F}(\text{Id}) \cdot \text{Mat}_E(T) \cdot \text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\)其中：
  • \(\text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\)：从基 E 到基 F 的过渡矩阵（新基 F 用旧基 E 表示的矩阵）；
  • \(\text{Mat}_{E,F}(\text{Id})\)：\(\text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\) 的逆矩阵（旧基 E 用新基 F 表示的矩阵）。

步骤 2：已知条件梳理

• 线性映射 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) 的定义：\(T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12x + 7y \\ -43x + 17y \end{pmatrix}\)；
• 旧基 \(E = \{e_1, e_2\}\)（标准基，\(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)），此时 \(\text{Mat}_E(T) = \begin{pmatrix} -12 & 7 \\ -43 & 17 \end{pmatrix}\)（直接由线性映射的坐标表达式得到）；
• 新基 \(F = \{f_1, f_2\}\)，其中 \(f_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}, f_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)。

步骤 3：构造过渡矩阵 \(\text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\) 和其逆 \(\text{Mat}_{E,F}(\text{Id})\)

• \(\text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\)：新基 F 用旧基 E 表示的矩阵。由于 \(f_1 = 2e_1 + 5e_2\)，\(f_2 = 1e_1 + 3e_2\)，因此：\(\text{Mat}_{F,E}(\text{Id}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\)
• \(\text{Mat}_{E,F}(\text{Id})\)：旧基 E 用新基 F 表示的矩阵，即 \(\text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\) 的逆矩阵。计算逆矩阵：\(\text{Mat}_{E,F}(\text{Id}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\)（验证：\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，确实是逆矩阵。）

步骤 4：用基变换公式计算 \(\text{Mat}_F(T)\)

根据公式 \(\text{Mat}_F(T) = \text{Mat}_{E,F}(\text{Id}) \cdot \text{Mat}_E(T) \cdot \text{Mat}_{F,E}(\text{Id})\)，代入矩阵计算：

\(\begin{align*} \text{Mat}_F(T) &= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -12 & 7 \\ -43 & 17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 \times (-12) + (-1) \times (-43) & 3 \times 7 + (-1) \times 17 \\ -5 \times (-12) + 2 \times (-43) & -5 \times 7 + 2 \times 17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -26 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7 \times 2 + 4 \times 5 & 7 \times 1 + 4 \times 3 \\ -26 \times 2 + (-1) \times 5 & -26 \times 1 + (-1) \times 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 34 & 19 \\ -57 & -29 \end{pmatrix} \end{align*}\)

步骤 5：验证（可选）

为了确认结果正确，可以直接计算 \(T(e_1)\) 和 \(T(e_2)\) 在新基 F 下的坐标，看是否与 \(\text{Mat}_{E,F}(T)\) 的列向量一致：

• \(T(e_1) = \begin{pmatrix} -12 \\ -43 \end{pmatrix}\)，用 F 表示需解 \(-12e_1 – 43e_2 = a f_1 + b f_2\)，代入 \(f_1, f_2\) 得 \(a = 7, b = -26\)，即 \(T(e_1) = 7f_1 – 26f_2\)；
• \(T(e_2) = \begin{pmatrix} 7 \\ 17 \end{pmatrix}\)，同理解得 \(T(e_2) = 4f_1 – f_2\)。

这与 \(\text{Mat}_{E,F}(T) = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -26 & -1 \end{pmatrix}\) 的列向量完全一致，验证了计算的正确性。

Vector space isomorphisms 向量空间同构

定义 ：既是单射又是满射（即双射）的线性映射称为同构映射。若存在同构映射 \(T: V \to W\)，则称向量空间 V 和 W 同构，记为 \(V \cong W\)。

定义 7：设 V 是实向量空间，\(B = \{b_1, \cdots, b_n\}\) 是 V 的基，则将向量 v 映射到其坐标向量 \([v]_B\) 的线性映射是同构映射。

注 5：该结果的一个重要推论是，每个有限维实向量空间都与某个列向量空间同构。