Advanced Calculus大三下 – Skyshin34的博客

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大一内容复习（简版）：图像绘制、等高线level curves、偏导数partial derivatives
三维空间几何、线性近似与切平面 linear approximation and tangent plane
方向导数与梯度、等值面 Directional derivatives and gradients, level surfaces
函数的临界点、极大值与极小值 Critical points, maxima and minima of functions
利用拉格朗日乘数法求解条件极值 Constrained maxima and minima using Lagrange multipliers
重积分、累次积分与二重积分，及部分应用 Multiple integration, iterated and double integrals, some applications
积分区域与积分次序、极坐标 ntegration domains and the order of integration, polar co-ordinates
微分方程：一阶线性常微分方程 Differential equations: first-order and linear ODEs
常系数二阶线性常微分方程 2nd order linear ODEs with constant coefficients
齐次解与特解 – Complementary functions and particular integrals

Functions, Graphs and Level Surfaces 函数，图像等值面

函数定义：函数y=f(x)是一个对应法则，将定义域（某一数集）中的每一个输入值，唯一映射为另一个数集（值域）中的输出值f(x)。
A function $y=f(x)$ is defined as a rule that assigns to each input value from a set (called the domain) exactly one output value $f(x)$ in another set (called the range).

函数可通过代数形式（显式或隐式）和图像形式表示
Functions can be represented algebraically (explicitly or implicitly) and graphically.

定义：函数在某一点的导数，描述了函数在该点附近的变化率。这一定性解释能帮助我们更好地理解导数的意义 A derivative of a function at a point describes the rate of change of the function in the vicinity of that point. This qualitative interpretation helps a lot with “making sense”!

我的疑问？我怎么记得对x求导，把y视作常数呢，这里为什么看成复合函数了？
- 只有当 y 和 x 无关时，才把 y 当常数。
- 这就成了复合函数，求导时要用链式法则

等值面定义：二元函数f(x,y)的等高线，是方程f(x,y)=k（k为函数值域内的常数）的解集，其几何意义为曲面在xy平面上的投影

截面（空间交线）：用平面 z=k 去截取曲面 z=f(x,y)，得到的是一条空间曲线（它躺在平面 z=k 上）
Level curve（等值线）：把这条空间交线垂直投影到 xy 平面，得到的平面曲线就是 level curve

如果题目让求level curves 就令Z = C(常数)

多元函数 Functions of SEVERAL variables

定义：二元函数是一个对应法则，将数集D中的每一个有序实数对(x,y)，唯一映射为一个实数z=f(x,y)。Def: A function f two variables is a rule that assigns to each ordered pair of real numbers $(x, y)$ in a set D a unique real number $z=f(x, y)$

例题：求函数g(x,y)=9−x2−y2的定义域和值域，并绘制其图像。

例题：求函数 $g(x,y) = \sqrt{9 – x^2 – y^2}$ 的定义域和值域，并绘制其图像。 ### 定义域： $D = \{(x,y) \mid 9 – x^2 – y^2 \geq 0\}$ $\quad = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq 9\}$ ### 值域： $\{z \mid z = \sqrt{9 – x^2 – y^2}, (x,y) \in D\} = \{z \mid 0 \leq z \leq 3\}$

三维图像的绘制方法 Techniques of Sketching in 3D

Recognizing standard surfaces

抛物面 (Paraboloids)：$z = x^2 + y^2$

椭圆锥面 (Elliptic cones)：$z^2 = x^2 + y^2$

平面 (Planes)：$ax + by + cz = d$（其中 $a,b,c,d$ 为常数）

双曲面 (Hyperbololoids)**：$x^2 + y^2 – z^2 = 1$

柱面 (Cylinders)：$x^2 + y^2 = 1$

旋转抛物面，XZ平面的圆，沿Y方向平移得到

Limits and Continuity in 2D 二维函数的极限与连续性

二元函数的极限

二位函数的极限性分析更为复杂：

一维函数中，趋近某一点仅有左、右两个方向；
二维函数中，可沿无穷多种方向和曲线趋近某一点（直线、抛物线、螺旋线、分段路径等），这种复杂性要求我们分析时更加谨慎。

几何意义：只要点$(x,y)$落在点$(a,b)$的足够小的邻域圆盘内，函数值就会无限接近$A$。换言之，沿所有路径趋近于$(a,b)$时，$f(x,y)$的极限均为$A$

二维函数的连续性

注：大多数常见函数（多项式函数、指数函数、三角函数）在其定义域内处处连续；连续性问题通常出现在表达式无定义的点（如分母为 0 的点），此时再用下述方法判断：

二元函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续，当且仅当(充要条件)同时满足以下三个条件：

1. 函数在点$(a,b)$处有定义；
2. 当$(x,y) \to (a,b)$时，$f(x,y)$的极限存在；
3. 极限值等于该点的函数值，即 $ \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$ 、

求二元函数极限

多项式函数一定有极限

多项式函数指的是：由有限个“常数 × 各变量的非负整数次幂的乘积”相加而成的函数，形式如下：
$P(x_1,\dots,x_n) = \sum c_{\alpha_1,\dots,\alpha_n} x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}$

多项式函数的多元极限一定存在，而且等于直接代入

极坐标换元法(最常用的，可证真和伪)

令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，将原函数转化为关于 $r$ 和 $\theta$ 的函数，再求 $r \to 0$ 时的极限。若变换后的表达式的极限值与 $\theta$ 无关，则原二元函数的极限存在。

路径试探法(两路径法，只可证伪)

若沿两条不同路径趋近于同一点时，函数的极限值不同，则该二元函数在该点的极限不存在

建议直接采取y=kx的路径法，这个相当于找了多个路径

y=kx路径法（路径试探法的高效版）

如果极限结果和K有关，不同K代表的不同路径，则能证明极限不存在

设的直线方程一定要经过趋近的点

如果最后的结果含X和K，记得要将X代入再看是否和K有关（见例题）

夹逼准则

若存在不等式 $|f(x,y)-L| \le g(\sqrt{x^2+y^2})$，且当 $r \to 0$ 时 $g(r) \to 0$，则 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = L$

找一个上界
只要这个上界能轻松证明趋于 0，那原式也一定趋于0

例题

Partial Differentiation 偏导数

沿坐标轴方向的变化率
计算方法：对一个变量求导，将其他所有变量视为常数！

Higher Partial Derivatives 高阶偏导数

我们可以对偏导数再次求偏导

例题：

可见 fxy=fyx，这并非巧合

Clairaut’s Theorem 克莱罗定理（混合偏导交换定理）

如果两次求导是对不同变量进行的，就是混合偏导数，是二阶偏导数的子集
如何判断偏导数是否连续：先把偏导数求出来，如果它在该点附近是普通初等函数且没有分段、绝对值尖点、分母为零或定义域边界问题，就通常连续，否则就要再验该点极限是否等于该点函数值。

Tangent Planes and Linear Approximation 线性近似（切平面）

平面和切平面方程

线性近似

例题：

例2:

三维空间中的向量、直线与平面 Vectors, Lines and Planes in 3D

向量代数复习

过点 (a,b) 的某条曲线的单位法向量

向量的线性无关性

该性质保证一组向量指向真正不同的方向：

避免向量组内冗余
每个向量贡献新方向，而非重复已有方向
使一对向量张成平面、三个向量张成三维空间

直线方程

平面方程

一个点 + 法向量

切平面方程（一个点 + 两个不平行的方向向量）

要证明一个向量垂直于一个平面，最常见的方法就是：
找出平面里两个不共线的方向向量，分别和它点乘都等于 0。
因为只要它同时垂直于平面里的两条独立方向，它就垂直于整个平面。

或者法2:从平面方程得到法向量，然后证明其平行

The Chain Rule

回顾一元函数链式法则

二元函数的全微分

二元函数的链式法则（一元自变量）

例题

隐函数求导 Implicit Differentiation

两种方法都行

二元自变量的链式法则

一般情形与导数矩阵 General Case and Derivative Matrix

现在考虑多自变量的一般情形，用矩阵记号表示偏导数的 “链式” 结构

雅可比矩阵

雅可比矩阵：多元函数对其自变量的一阶偏导数组成的矩阵

写成雅可比矩阵，再转换为简写记号的说明：

作为线性映射的雅可比矩阵

因此，雅可比行列式的绝对值是局部面积缩放因子
雅可比矩阵的列直观展示了坐标网格如何被拉伸 / 扭曲。再看极坐标例子

最一般情形

例题

Directional Derivatives and the Gradient 方向导数和梯度

梯度

公式：把函数对各个自变量的偏导数按顺序拼成一个向量

一个函数的梯度就是一个含参（如果不含参则所有点的梯度相同）的向量场，但反过来说不对
All gradient Fields are vector field，but does the reverse hold as well ？No
如何验证一个向量场不是梯度场，验证f‘xy不等于f’yx即可证明

比如：

每个点的梯度向量方向和大小都可以不同，共同构成梯度向量场

梯度和函数的等值线f(x,y)=k正交
the gradient is orthogonal (normal) to level curves (2D) or level surfaces (3D)
证明（简单）：

因此也能得到一个推论：通过将梯度缩放为单位长度，得到一个单位法向量

方向导数

定义：某个点在某个方向的方向导的数
计算方式：该点的梯度点乘（归一化）方向向量（证明略）

例子：计算函数在某点处的方向导数

对方向归一化处理为方向向量
对函数求偏导计算梯度，然后代入点坐标计算该点的梯度
梯度点乘方向向量

梯度指向的是变化率最大的方向（可以这样记忆：切平面的变化率为0，而梯度指向的方向是变化率最大的，因此两者正交）
推导思路：根据方向导数 = 梯度点乘方向向量
因为一个点的所有方向的方向导数中，只有梯度方向和改方向重合时cos夹角为1，此时方向导数最大，证明该方向为变化率最快的方向

例题：求函数某个点的方向导数，求函数某点的最大变化率和其方向

例题：求等值线的切向量 tangent

例题：三维

方向导数 = 斜率 = tan𝛂

隐函数曲面求切平面

点法式：

例题：隐函数曲面函数求切平面

这题给的曲面不是z=f(x,y)
而是一个隐函数曲面 / 等值面$\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=3$也就是：$F(x,y,z)=\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=3$,所以要用第二种公式：$\nabla F(\mathbf r_0)\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0$