• 大一内容复习（简版）：图像绘制、等高线level curves、偏导数partial derivatives
• 三维空间几何、线性近似与切平面 linear approximation and tangent plane
• 方向导数与梯度、等值面 Directional derivatives and gradients, level surfaces
• 函数的临界点、极大值与极小值 Critical points, maxima and minima of functions
• 利用拉格朗日乘数法求解条件极值 Constrained maxima and minima using Lagrange multipliers
• 重积分、累次积分与二重积分，及部分应用 Multiple integration, iterated and double integrals, some applications
• 积分区域与积分次序、极坐标 ntegration domains and the order of integration, polar co-ordinates
• 微分方程：一阶线性常微分方程 Differential equations: first-order and linear ODEs
• 常系数二阶线性常微分方程 2nd order linear ODEs with constant coefficients
• 齐次解与特解 – Complementary functions and particular integrals

Functions, Graphs and Level Surfaces 函数，图像 等值面

函数定义：函数y=f(x)是一个对应法则，将定义域（某一数集）中的每一个输入值，唯一映射为另一个数集（值域）中的输出值f(x)。
A function \(y=f(x)\) is defined as a rule that assigns to each input value from a set (called the domain) exactly one output value \(f(x)\) in another set (called the range).

函数可通过代数形式（显式或隐式）和图像形式表示
Functions can be represented algebraically (explicitly or implicitly) and graphically.

定义：函数在某一点的导数，描述了函数在该点附近的变化率。这一定性解释能帮助我们更好地理解导数的意义 A derivative of a function at a point describes the rate of change of the function in the vicinity of that point. This qualitative interpretation helps a lot with “making sense”!

• 我的疑问？我怎么记得对x求导，把y视作常数呢，这里为什么看成复合函数了？
  • 只有当 y 和 x 无关时，才把 y 当常数。
  • 这就成了复合函数，求导时要用链式法则

等值面定义：二元函数f(x,y)的等高线，是方程f(x,y)=k（k为函数值域内的常数）的解集，其几何意义为曲面在xy平面上的投影

截面（空间交线）：用平面 z=k 去截取曲面 z=f(x,y)，得到的是一条空间曲线（它躺在平面 z=k 上）
Level curve（等值线）：把这条空间交线垂直投影到 xy 平面，得到的平面曲线就是 level curve

如果题目让求level curves 就令Z = C(常数)

多元函数 Functions of SEVERAL variables

定义：二元函数是一个对应法则，将数集D中的每一个有序实数对(x,y)，唯一映射为一个实数z=f(x,y)。Def: A function f two variables is a rule that assigns to each ordered pair of real numbers \((x, y)\) in a set D a unique real number \(z=f(x, y)\)

例题：求函数g(x,y)=9−x2−y2​的定义域和值域，并绘制其图像。

例题：求函数 $g(x,y) = \sqrt{9 – x^2 – y^2}$ 的定义域和值域，并绘制其图像。 ### 定义域： $D = \{(x,y) \mid 9 – x^2 – y^2 \geq 0\}$ $\quad = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leq 9\}$ ### 值域： $\{z \mid z = \sqrt{9 – x^2 – y^2}, (x,y) \in D\} = \{z \mid 0 \leq z \leq 3\}$

三维图像的绘制方法 Techniques of Sketching in 3D

Recognizing standard surfaces

抛物面 (Paraboloids)：\(z = x^2 + y^2\)

椭圆锥面 (Elliptic cones)：\(z^2 = x^2 + y^2\)

平面 (Planes)：\(ax + by + cz = d\)（其中 \(a,b,c,d\) 为常数）

双曲面 (Hyperbololoids)**：\(x^2 + y^2 – z^2 = 1\)

柱面 (Cylinders)：\(x^2 + y^2 = 1\)

Limits and Continuity in 2D 二维函数的极限与连续性

二元函数的极限

二位函数的极限性分析更为复杂：

• 一维函数中，趋近某一点仅有左、右两个方向；
• 二维函数中，可沿无穷多种方向和曲线趋近某一点（直线、抛物线、螺旋线、分段路径等），这种复杂性要求我们分析时更加谨慎。

几何意义：只要点\((x,y)\)落在点\((a,b)\)的足够小的邻域圆盘内，函数值就会无限接近\(A\)。换言之，沿所有路径趋近于\((a,b)\)时，\(f(x,y)\)的极限均为\(A\)

二维函数的连续性

二元函数\(f(x,y)\)在点\((a,b)\)处连续，当且仅当(充要条件)同时满足以下三个条件：

• 1. 函数在点\((a,b)\)处有定义；
• 2. 当\((x,y) \to (a,b)\)时，$f(x,y)$的极限存在；
• 3. 极限值等于该点的函数值，即 \( \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)\)

注：大多数常见函数（多项式函数、指数函数、三角函数）在其定义域内处处连续；连续性问题通常出现在表达式无定义的点（如分母为 0 的点）。

求二元函数极限

多项式函数一定有极限

多项式函数指的是：由有限个“常数 × 各变量的非负整数次幂的乘积”相加而成的函数，形式如下：
\(P(x_1,\dots,x_n) = \sum c_{\alpha_1,\dots,\alpha_n} x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}\)

多项式函数的多元极限一定存在，而且等于直接代入

极坐标换元法(最常用的，可证真和伪)

令 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)，将原函数转化为关于 \(r\) 和 \(\theta\) 的函数，再求 \(r \to 0\) 时的极限。 若变换后的表达式的极限值与 \(\theta\) 无关，则原二元函数的极限存在。

路径试探法(两路径法，只可证伪)

若沿两条不同路径趋近于同一点时，函数的极限值不同，则该二元函数在该点的极限不存在

建议直接采取y=kx的路径法，这个相当于找了多个路径

y=kx路径法（路径试探法的高效版）

如果极限结果和K有关，不同K代表的不同路径，则能证明极限不存在

• 设的直线方程一定要经过趋近的点

• 如果最后的结果含X和K，记得要将X代入再看是否和K有关（见例题）

夹逼准则

若存在不等式 \(|f(x,y)-L| \le g(\sqrt{x^2+y^2})\)，且当 \(r \to 0\) 时 \(g(r) \to 0\)，则 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = L\)

• 找一个上界
• 只要这个上界能轻松证明趋于 0，那原式也一定趋于0

例题