Games101_动画与仿真 Animation_21-22

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在图形学中可以理解为对建模以及几何的拓展，在不同时间有不同的几何形体，把三维的模型延申到了时间的维度上 An extension of modeling, Represent scene models as a function of time
按顺序播放一系列图片就形成了动画 Output: sequence of images that when viewed sequentially provide a sense of motion
电影通常是每秒24帧 Film: 24 frames per second
视频通常每秒30帧就比较流畅，游戏可能需要60帧甚至对连贯性要求比较高达到144帧 Video (in general): 30 fps
VR设备要达到每秒90帧才不会产生眩晕感 Virtual reality: 90 fps
动画的历史：壁画->圆盘播放-> 第一部电影：这里认为拍摄马奔跑是第一部电影-> 第一部完整长度手绘动画电影《白雪公主》-> 计算机动画里程碑式的电影《侏罗纪公园》-> 第一部全CG完整长度动画电影《玩具总动员》

1 动画分类

1.1 关键帧动画（Keyframe）

在关键的位置上制作一帧画面，而中间的过程采用自动生成的方式形成动画

关键帧动画的技术问题在于如何在关键帧之间插值，线性的插值通常不够好，使用曲线/样条来控制能达到比较好的效果 Linear interpolation usually not good enough, Recall splines for smooth / controllable interpolation

1.2 物理模拟（Physical Simulation）

已知物体质量，给物体应用一个力，则可以算出它的加速度，再引入时间，就能算当前时刻速度、位置等一系列信息，然后就可以动态的更新下一时刻的信息从而产生动画了。

物理仿真/模拟背后的核心思想就是构建物理模型，分析受力，从而算出某时刻的加速度、速度、位置等息。只要能够正确建立物理模型，一定可以得出正确的物理模拟结果。

1.3 质点弹簧系统（Mass Spring System）

简单、理想化的弹簧（帮助理解）

没有长度
弹簧拉多长就产生多大的力
受力计算方法如下，只有将质点向内拉的力，ks 为弹性系数。

正常的有长度的弹簧

弹簧被拉长会产生向内收缩的力，被压短则产生外推力
弹簧常态长度为 l，受力大小依然形变大小成正比，计算方式如下

存在的问题：永远震荡不会停止，动能与势能不停转变，没有损耗

（1）简单的引入阻尼（错误方法）

介绍如下记号，打点表示对时间 t 求导，位移x求导1次是速度，求导2次为加速度。（简单物理）

简单的阻尼表示：与速度反向相反，在数学中的表示如下，其中k_d 为阻尼系数，

引入简单阻尼产生的bug：他会减慢一切运动。
（理解：我们引入阻尼真正的目的是让震荡的弹簧不会永远震荡下去，会因为阻尼的存在而停下。目前引入的阻尼确实能达到目的，但还会阻止一个处于常态的弹簧的一切非震荡运动。比如弹簧两端相对静止，但是处于自由落体状态，都有向下的速度，则此阻尼力会使他落得越来越慢，这不正常）
（2）引入弹簧内部阻尼（正确方法）

限制阻尼只发生在弹簧内部，只作用于因弹簧形变引起的运动。
未达目的，必须引入相对运动，公式更改如下（注意这里算阻尼跟伸缩长度没关系）

参数	说明
k_d	阻尼系数
\[ \frac{\boldsymbol{b} – \boldsymbol{a}}{\\|\boldsymbol{b} – \boldsymbol{a}\\|} \]	单位向量，表方向，a指向b
\[ \frac{\boldsymbol{b} – \boldsymbol{a}}{\\|\boldsymbol{b} – \boldsymbol{a}\\|} \cdot (\dot{\boldsymbol{b}} – \dot{\boldsymbol{a}}) \]	左边是单位向量ab，右边是b点相对于a的速度向量，点乘表示把速度投影到ab方向上（注意是标量了！），投影目的是：防止两端相对静止，一个球绕另一个球做圆周运动而出现的阻尼。

上面只考虑一节弹簧，我们也得考虑弹簧组合起来的结构

假设要模拟一块布，简单使用方形的连接方式不能很好的表现：
斜向拉时，该结构不能抵抗切变的力，会发生形变 This structure will not resist shearing
如果不是平面内的力，布会有抵抗的性质（比如布很难完美对折），然而这种结构显然不会发生抵抗 This structure will not resist out-of-plane bending…

为了优化，加入斜对角线的连线
这种结构可以抵抗切边的力但具有各向异性 This structure will resist shearing but has anisotropic bias
依然不能抵抗非平面内的力 This structure will not resist out-of-plane bending either…

继续优化
另一个对角线拉也能抵抗切变 This structure will resist shearing, Less directional bias
依然不能抵抗非平面内的力 This structure will not resist out-of-plane bending either…

使用跳跃连接
可以抵抗剪切 This structure will resist shearing, Less directional bias.
也可以抵抗非平面的力（红色弹簧间的力是很弱的） This structure will resist out-of-plane bending, Red springs should be much weaker

质点弹簧系统在一定程度上可以模拟布料，但也有其他方法如有限元法，可以模拟力的传导 Finite Element Method (FEM)

建模一堆微小粒子，定义每个粒子会受到的力(粒子之间的力、来自外部的力、碰撞等)。内部的有：
- 引力与斥力 Attraction and repulsion forces
  - 重力、电磁力… Gravity, electromagnetism
  - 弹簧力、推力… Springs, propulsion, …
- 阻力 Damping forces
  - 摩擦力、空气阻力、粘滞力… Friction, air drag, viscosity, …
- 碰撞 Collisions

粒子系统也可以描述群体之中的个体，如鸟群中可以定义个体的运动属性，通过粒子模拟来解出来结果，其他还有分子结构、人群等

1.4 运动学 Kinematics

1.4.1 正向运动学 Forward Kinematics

骨骼的连接方式

骨骼系统

拓扑结构
关节相互的几何联系
树状结构

关节类型

Pin（滑车关节）：平面内旋转
Ball（球窝关节）：一部分空间内旋转
Prismatic joint（导轨关节）：允许平移

例：由两部分骨骼构成的2D的手臂
第一部分旋转θ₁，第二部分旋转θ₂，问端点p的位置在哪？

计算方法非常简单，说明只要定义好骨骼连接方式，任何时刻只要知道角度，就能算出尖端p应该停在哪里

正向运动学的缺点是使用太过于物理，艺术家处理时需要更直观的拖拽末端的方法

1.4.2 逆向运动学 Inverse Kinematics(IK)

正向运动学：通过骨骼旋转角度计算尖端位置
逆向运动学：通过控制尖端位置，反算出应该旋转多少

例：依然是最简单的2部分组成的手臂
知道p点位置，反算骨骼角度

逆运动学存在的问题

解并不唯一，两种不同的角度组合方式都能让p处于目标位置

并不是一定有解，即会有无解的情况，如下图尖端活动范围有限

人们会采用很多优化方法（如梯度下降）去解决逆向运动学产生的问题，而不是真的求角度

1.5 绑定 Rigging

绑定是一种更高级别的角色控制方法，允许更快速和直观地修改姿势、变形、表情等

在角色身体、脸部等位置创造一系列控制点，艺术家通过调整控制点的位置，带动脸部其他从点移动，从而实现表情变化，动作变化等。

不同的两个动作可以使用Blend Shapes插值两个动作

1.6 动作捕捉 Motion Capture

动作捕捉能够得到真实的动作，但是操作复杂、成本高、有时难以捕捉到好的数据、不能处理夸张的动画效果

众多动捕设备中最常用的还是光学动捕设备

最重要的被遮挡问题，可以通过增加摄像机等方法避免

得到的数据是每个控制点在三维空间中的运动数据

阿凡达面部动捕

1.7 动画生产流程

2. 仿真模拟 Simulation

2.1 单粒子模拟 Single Particle Simulation

假设粒子的运动由速度矢量场决定，速度场是关于位置和时间的函数：v(x, t)
速度场：定义质点在任何时刻在场中任何位置的速度。给个位置和时间，就能知道速度

计算速度场内的粒子位置需要求解一阶常微分方程 Computing position of particle over time requires solving a first-order ordinary differential equation(ODE)

2.1.1 欧拉方法 Euler’s Method (a.k.a. Forward Euler, Explicit Euler)

简单迭代方法，用上一时刻的信息推导这一时刻的信息

很常用、非常不准确、非常不稳定

不准确性：
- 如果采用较大的Δt，误差会很大，并且误差会积累
- 可以通过缩小Δt来控制误差

不稳定性
- 与误差无关，不管取多小的时间差，最后的结果都会和正确结果相差无限远。
- 假设有一个圆形速度场，速度一直是垂直于直径的，按理来说粒子在这里会一直做圆周运动不会飞出去，但是用欧拉方法，不管选择多小的步长Δt，粒子都会飞出去

假设如下速度场，粒子初始点在下方，会被下方速度场推到右上方，又被上方的速度场推向右下方，如此交替往复。
但是这个速度场，这样的粒子初始位置，正确的路径应该是沿着速度场，缓慢向中间靠拢，最后收敛于中间

使用数值方法解微分方程都会出现问题
对于不准确性，在模拟中会产生错误，但是在渲染中其实并不太在意这种误差 Errors at each time step accumulate. Accuracy decreases as simulation proceeds. Accuracy may not be critical in graphics applications
对于不稳定性，可能会加剧错误，在模拟中不能被忽视 Errors can compound, causing the simulation to diverge even when the underlying system does not

2.1.2 改善不稳定性

2.1.2.1 中点法 Midpoint method

先计算a点 Position-based / Verlet integration
取原点和a点的中点b Compute derivative at midpoint of Euler step (b)
使用中点b的速度更新位置 Update position using midpoint derivative (c)

$$ \begin{cases} x_{mid} = x(t) + \Delta t/2 \cdot v(x(t), t) \\ x(t + \Delta t) = x(t) + \Delta t \cdot v(x_{mid}, t) \end{cases} $$

2.1.2.2 变形欧拉法（Modified Euler）

取开始和结束位置的速度的平均速度，再计算最终位置

$$ \begin{align*} \boldsymbol{x}^{t+\Delta t} &= \boldsymbol{x}^t + \frac{\Delta t}{2} \left( \dot{\boldsymbol{x}}^t + \dot{\boldsymbol{x}}^{t+\Delta t} \right) \\ \dot{\boldsymbol{x}}^{t+\Delta t} &= \dot{\boldsymbol{x}}^t + \Delta t \, \ddot{\boldsymbol{x}}^t \\ \boldsymbol{x}^{t+\Delta t} &= \boldsymbol{x}^t + \Delta t \, \dot{\boldsymbol{x}}^t + \frac{(\Delta t)^2}{2} \ddot{\boldsymbol{x}}^t \end{align*} $$

2.1.2.3 自适应改变步长 Adaptive step size

基于误差估计，自动选择步长Δt
非常实用
但是可能会让步长变得特别小

实现步骤

先用步长 T 做一次欧拉计算 X_T
再用步长 T/2 做两次欧拉得到 X_T/2
比较两次位置误差error ||X_T – X_T/2||
if（error > threshold）减少步长，重复上面步骤

所以如果误差error很大，就会往下细分，直到误差够小为止，这样可以模拟出比较好的效果如右图。拐弯的地方一般步长会比较小

2.1.2.4 隐式(后向)的欧拉方法 Implicit(Backward) Euler methods

跟欧拉方法唯一的区别是：用下一个时刻的速度和加速度来计算下一个时刻的位置和速度
求解的时候并不好求，需要使用寻根算法如牛顿法 Use root-finding algorithm, e.g. Newton’s method
该方法可以提供比较好的稳定性 Offers much better stability

怎么定义稳定性？

局部截断误差（local truncation error）：每一步的误差
全局累积误差（total accumulated error）：总的累积误差
but上面两个数值并不重要，重要的是步长h 跟误差的关系(用阶来描述)
PS：时间复杂度里的大 O 描述“算得多快/多慢”，数值分析里的大 O 描述“误差降得多快”。数学记号一样，但比较的是不同对象，极限方向也不同。

隐式的欧拉方法是1阶，阶数越高代表方法越好
局部误差：O(h)
全局误差：$O(h^2)$
O(h)意思是一阶，步长Δt变为原来的一半，误差也变成原来的一半
$O(h^2)$则表示，步长变为原来的一半，误差变成原来的四分之一
下面介绍一种更好的4阶的方法

2.1.2.5 龙格库塔系列的方法 Runge-Kutta Families

这类方法擅长解非线性的常微分方程，其中一个四阶的方法RK4方法应用最广 Especially good at dealing with non-linearity, It’s order-four version is the most widely used, a.k.a. RK4

2.2 刚体模拟 Rigid Body Simulation

刚体的运动不会发生形变，内部所有的点都按照同种方式运动，也相当于一个粒子，但是计算时会注意更多物理量 Similar to simulating a particle; Just consider a bit more properties

2.3 流体模拟 Fluid simulation

这里介绍一种简单的Position-Based的流体模拟的方法
假设水由许多刚体小球组成的 Assuming water is composed of small rigid-body spheres
假设水是不能被压缩的（即任何位置密度一致）
所以，只要某处的密度发生了变化，就应该通过改变粒子的位置来“修正” So, as long as the density changes somewhere, it should be “corrected” via changing the positions of particles
为了修正，我们要知道一个小球位置的变化对其周围密度的影响，即任何一个点的密度梯度(也就是导数) You need to know the gradient of the density anywhere w.r.t. each particle’s position
- 这里就是机械学习中的梯度下降
修正位置的过程是一个梯度下降的过程 Update? Just gradient descent!
这样简单的模拟最后会一直运动停不下来，我们可以人为的加入一些能量损失
在模拟大量物体运动的两种思路：拉格朗日与欧拉方法 Two different views to simulating large collections of matters: Lagrangian vs. Eulerian：

拉格朗日法(质点法)：类似于模拟水，我们认为水是许多不同刚体水滴组成，模拟好每一个水滴，知道每一个在某个时刻应该在什么位置，即可很好的模拟水。
欧拉方法(网格法)，不同于之前的解微分方程的欧拉方法，这里是指把空间分成一个个网格，考虑一个网格随着时间不同的变化

现在也有一种混合方法 Material Point Method (MPM)：粒子将属性传递给网格，模拟的过程在网格力做，然后把结果插值回粒子 particles transfer properties to the grid, grid performs update, then interpolate back to particles

3.下一步应该怎么学

有能力手写渲染器或掌握一个API了
如果想深入学习实时渲染去看《real time rendering》，对照任何OpenGL书就可以学下去
如果想学习DirectX，怎样和实时光线追踪结合，或者Vulkan搞一些跨平台的东西都差不多
几何部分需要深厚的数学基础：微分几何、离散微分几何、拓扑、流形等等知识
光线传播还有实时高质量渲染GAMES202
模拟部分有胡渊鸣的GAMES201

Reference

https://www.zhihu.com/column/c_1481749569474650112

https://blog.csdn.net/motarookie/category_11510961.html