抽样方法
简单随机样本
抽样方法定义了如何选择样本。最基本的是简单随机样本（SRS）：
若总体中每个元素被选中的概率相等，且每个大小为 n 的可能样本被选中的可能性相同，则该样本为简单随机样本。
示例：假设有 10 个信封，每个标有唯一字母（A-J），其中 4 个装有折扣券。研究人员无放回地抽取 4 个信封。若每组 4 个信封被选中的概率相等，则这是一个 SRS。有放回抽样允许同一个信封被多次抽取，以确保独立性。
多数现实样本并非简单随机样本
在应用研究中，获取真正的简单随机样本通常不切实际。即使在狭窄定义的场景中（如从单一大学抽取学生），参与者也未必能真正代表目标总体的随机子集。因此，研究人员常依赖其他抽样策略，以下概述几种关键方法：
分层抽样
在分层抽样中，总体按已知特征（如地理位置、收入阶层或临床诊断）划分为互斥的子组（层），然后从每个层中随机抽样。这比简单随机抽样更高效，尤其当某些子组较罕见时。
示例：在评估工业污染健康影响的环境研究中，从整个城市随机抽样可能导致居住在污染源附近的参与者极少。为更好理解暴露影响，研究人员可将总体分为居住在工业区附近和较远的群体，然后对高暴露区域的个体进行过采样（有意过度代表）。
雪球抽样
当目标总体隐蔽或难以接触时，常使用雪球抽样。该方法从识别少量合格参与者开始，然后请他们推荐其他符合条件的人，如此递归直至达到所需样本量。
示例：在城市无家可归者研究中，研究人员可能先访谈少量街头流浪者，再请每位参与者推荐其他愿意参与的人，使样本通过人际网络扩展。
雪球抽样常用于研究流动性强或难以触及的群体，但其引入抽样偏差 —— 倾向于过度代表某些社交网络。
方便抽样
方便抽样指选择研究人员容易接触到的参与者，无论其代表性如何。这可能是心理学和社会科学中最常见的抽样形式。
示例：许多研究招募修读入门课程的本科生，这不仅将样本限制在狭窄的人口特征中，学生还可能因个人兴趣自行选择参与研究，引入更多偏差。
方便样本并非本质无效，但其推广性通常有限。研究人员必须仔细考虑其中的权衡，并在报告结果时透明说明抽样方法。
尽管简单随机样本仍是推断的黄金标准，但实际中很少能实现。研究人员常需在其他抽样方案中选择，每种方案各有优劣。认识抽样对推断的影响是开展可靠且可解释的统计分析的关键。
样本非随机是否重要？
情况并非绝对：有偏样本确实可能扭曲结论，但并非所有抽样偏差都有问题。
在某些情况下（如分层抽样），偏差是故意且已知的。这些技术通过确保子组的充分代表性，常能改善研究设计。此外，存在正式方法（本课程不涉及）可对这类偏差进行统计调整，使其影响降低。
核心观点是：随机抽样是手段而非目的。仅当有偏抽样方法对所研究的特定心理或科学现象引入扭曲时，才会成为问题。
示例：两项测量工作记忆容量的研究中，研究 1 从所有周一出生的人中随机抽样，研究 2 从单一国家人口中随机抽样。尽管研究 1 的限制看似随意，但尚无证据表明出生日期与工作记忆相关；而研究 2 可能引入无意的文化、教育或语言偏差 —— 这些因素可能影响记忆任务表现。矛盾的是，就所研究的认知特质而言，研究 1 的样本可能更能代表全球人口。
由此得出两条重要建议：
- 设计研究时，仔细考虑希望推广到的总体，并努力适当抽样。
- 评估使用方便样本的研究时，仅当能明确说明抽样程序如何引入相关偏差时，才进行实质性批判。
总体参数与样本统计量 Population Parameters and Sample Statistics
某概率分布（通常是正态分布），其总体均值 \(\mu = 100\)，总体标准差 \(\sigma = 15\)。这些值称为总体参数，描述完整分布的特征。
现从该分布中随机抽取 \(n = 100\) 人的样本，可能得到如下数据：\(102, 97, 88, 110, 93, …, 105, 99, 91\) 从该样本可计算样本统计量，如样本均值 \(\bar{x} = 98.5\) 和样本标准差 \(s = 15.9\)。由于抽样过程中的随机变异，这些值通常与真实总体参数略有差异。
样本统计量是总体参数的估计量：
- 总体均值 \(\mu\) 由样本均值 \(\bar{x}\) 估计；
- 总体方差 \(\sigma^{2}\) 由样本方差 \(s^{2}\) 估计。
大数定律 The Law of Large Numbers
当样本量 \(N \to \infty\) 时，样本均值 \(\bar{X}_{N} \to \mu\)（即真实总体均值）。
在前面的例子中，\(N = 100\) 的样本均值与真实总体均值较为接近。但在许多应用中，需要更高的精度。
自然的解决方案是收集更大的样本。例如，从 \(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\) 的总体中抽取 \(N = 10,000\) 人的智商样本，其样本均值和标准差很可能非常接近总体值。
均值的抽样分布和其他变量的抽样分布Sampling Distribution of the Mean
“样本平均值”本身也是一种随机变量，而这种随机变量的分布，就叫做样本均值的抽样分布。
假设你有一个很大的总体，比如一整个城市学生的数学成绩（太多了，不可能全统计）
每次：
- 随机挑出 5 个学生（这是你的“样本”）
- 记录这 5 个人的平均分
- 然后把样本扔掉，重新再挑另外 5 个人，再算一个平均分
不断重复这个过程，比如上千次，就会得到很多个样本平均数，构成样本均值的抽样分布
其他统计量的抽样分布：
抽样分布不仅限于均值。任何样本统计量（如中位数、最大值或方差）都有对应的抽样分布，描述该统计量在重复样本中的变化。例如，若每次实验记录 5 个抽样个体的最大智商，则最大值得抽样分布往往右偏，因为最大值通常超过总体均值
中心极限定理（CLT）
统计学的基本结论之一是中心极限定理（CLT），它描述了样本量增大时均值抽样分布的行为。
定理 1 蕴含三个关键事实：
- \(\bar{X}_{N}\) 的抽样分布以真实均值 \(\mu\) 为中心；
- 抽样分布的标准差称为标准误（SE），即 \(SE = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\)；
- 当 N 增大时，无论原始总体分布形状如何，抽样分布近似正态。
这解释了为何正态分布在统计推断中如此普遍：即使总体非正态，随着 N 增大，均值的抽样分布仍趋向正态。这一性质使我们能利用正态分布近似构造置信区间和进行假设检验。
样本均值，样本方差估计总体均值，总体标准差(贝塞尔修正)
1. 估计总体均值
比如想知道整个大班学生的平均成绩（总体均值\(\mu\)），我们就抽 100 个学生（样本）来考试，算出这 100 人的平均分（样本均值\(\bar{X}\)，比如 98.5 分）。这个样本平均分就是对总体平均分的最佳猜测，这就是 “点估计”
2. 估计总体标准差（为什么要 “贝塞尔校正”）
因为从总体中抽样这个过程会让数据进一步集中，而低估总体方差（因为方差越大说明数据的离散程度越大）。所以为了增大样本方差，应该处以一个比n更小的数字，所以选择n
用样本算标准差时，如果直接除以样本量n，会系统性地低估总体的真实变异。为了纠正这个偏差，就需要 “贝塞尔校正”—— 把分母从n改成\(n-1\)
为什么除n-1而不是n-2、3…
因为用除以n-1的样本方差估计总体方差是无偏估计，并不说完全没有偏差，而是满足下面这个式子ES ^2..
例题：
