向量空间Vector Spaces

定义 1: 空间 R^n 由拥有 n 个分量的所有列向量 v 构成

向量空间要求子空间内向量的线性组合也属于子空间，具体来说：
如果 \(\boldsymbol{v}\) 和 \(\boldsymbol{w}\) 是该子空间中的向量，c 是任一标量，那么:

(i) \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}\) 属于这个子空间

(ii) \(c\boldsymbol{v}\) 属于这个子空间

此外必须包含0向量，需要单独验证这一点

向量空间的例子：
若\(A \in M_{m×n}(\mathbb{R})\)是一个 m×n 矩阵，则方程组\(A \cdot v = 0\)的所有解构成一个向量空间

并且对于所有的u,v,w∈V以及所有的λ,μ∈R，满足以下八条公理：
(1) v+w=w+v（加法交换律）
(2) u+(v+w)=(u+v)+w（加法结合律）
(3) 0V​+v=v（零向量的加法单位元性质）
(4) 对于每一个v∈V，都存在一个元素x∈V，使得v+x=0V​（加法逆元存在性）
(5) λ(μv)=(λμ)v（标量乘法结合律）
(6) 1⋅v=v（标量 1 的乘法单位元性质）
(7) (λ+μ)v=λv+μv（标量加法对向量的分配律）
(8) λ(v+w)=λv+λw（标量乘法对向量加法的分配律）

子空间 (Subspaces)

是某个更大的向量空间（称为母空间）的子集，子集自身也满足向量空间的所有公理：包括1个要求和8个公理。子空间必须 “嵌套” 在另一个向量空间里，不能独立存在。

例如 \(\mathbb{R}^3\) 的子空间:

(L) 任何穿过 \((0,0,0)\) 的直线

(P) 任何穿过 \((0,0,0)\) 的平面

( \(\mathbb{R}^3\) ) 整个空间

(Z) 零向量 \((0,0,0)\)

非子空间示例）：考虑\(\mathbb{R}^2\)中所有分量非负的向量构成的集合，即：
\(\{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2: x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\}\)
该子集是平面直角坐标系中的第一象限，它是\(\mathbb{R}^2\)的一个子集，但不是子空间
因为第一象限的集合对对加法封闭，但对数量乘法不封闭

同理可证明以下集合均为向量子空间：
反对称矩阵的集合。下三角矩阵的集合；上三角矩阵的集合；对角矩阵的集合；对称矩阵的集合；

更多不是向量子空间的例子证明：

所有满足 \(v_2 v_3 = 0\) 的向量 \(\boldsymbol{v}\) 构成的集合

计算 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} 0 + 0 \\ 1 + 0 \\ 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)，此时 \(v_2 v_3 = 1 \times 1 = 1 \neq 0\)，不满足 \(v_2 v_3 = 0\)，故 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} \notin V\)，不满足对加法封闭。因此，该集合不是向量子空间

所有满足 \(v_3 – v_2 + 3v_1 = 0\) 的向量 \(\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\) 构成的平面

设该集合为 V。

• 包含零向量：零向量 \(\boldsymbol{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)，代入 \(v_3 – v_2 + 3v_1\) 得 \(0 – 0 + 3 \times 0 = 0\)，满足条件，故 \(\boldsymbol{0} \in V\)。
• 对加法封闭：任取 \(\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \in V\)，则 \(a_3 – a_2 + 3a_1 = 0\)，\(b_3 – b_2 + 3b_1 = 0\)。\(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}\)，代入 \(v_3 – v_2 + 3v_1\) 得：\((a_3 + b_3) – (a_2 + b_2) + 3(a_1 + b_1) = (a_3 – a_2 + 3a_1) + (b_3 – b_2 + 3b_1) = 0 + 0 = 0\)，故 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} \in V\)。
• 对标量乘法封闭：任取 \(\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \in V\)，标量 \(k \in \mathbb{R}\)，则 \(k\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} k a_1 \\ k a_2 \\ k a_3 \end{pmatrix}\)，代入 \(v_3 – v_2 + 3v_1\) 得：\(k a_3 – k a_2 + 3k a_1 = k(a_3 – a_2 + 3a_1) = k \times 0 = 0\)，故 \(k\boldsymbol{v} \in V\)。因此，该集合是向量子空间。

由两个给定向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 的所有线性组合构成的集合

设该集合为 V，线性组合形式为 \(k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k + 2l \\ k \\ l \end{pmatrix}\)（\(k, l \in \mathbb{R}\)）。

• 包含零向量：当 \(k = 0\)，\(l = 0\) 时，得到零向量 \(\boldsymbol{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)，故 \(\boldsymbol{0} \in V\)。
• 对加法封闭：任取 \(\boldsymbol{v} = k_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l_1\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{w} = k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l_2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in V\)，则 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} = (k_1 + k_2)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + (l_1 + l_2)\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，仍为两个向量的线性组合，故 \(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} \in V\)。
• 对标量乘法封闭：任取 \(\boldsymbol{v} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in V\)，标量 \(m \in \mathbb{R}\)，则 \(m\boldsymbol{v} = mk\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + ml\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，仍为两个向量的线性组合，故 \(m\boldsymbol{v} \in V\)。

因此，该集合是向量子空间。

子空间是向量空间的一个子集，且该子集本身也是一个向量空间：子空间中元素的线性组合仍属于这个子空间。需要注意的是，零向量\(0_V\)属于每一个子空间，实际上，仅包含零向量的集合本身就是最小的向量空间

定理：设X和Y是向量空间V的两个子空间，则\(X \cap Y\)（X与Y的交集）以及
\(X + Y = \{x + y \mid x \in X, y \in Y\}\)（X与Y的和集）均为V的向量子空间

命题 3：设V是有限维向量空间，U是V的子空间，则\(\dim U \leq \dim V\)，且当且仅当\(U = V\)时，\(\dim U = \dim V\)

• 空间 U 是母空间 V 的 “一部分”，所以 U 的 “大小”（维度）不可能超过 V。
• 只有当子空间 U 完全等于母空间 V 时，两者的维度才会相等（因为此时 U 就是 V 本身）。

例子：

• 母空间 \(V = \mathbb{R}^3\)（三维空间，\(\dim V = 3\)）。
• 子空间 U 可以是 “过原点的平面”（二维，\(\dim U = 2 < 3\)），或 “过原点的直线”（一维，\(\dim U = 1 < 3\)）。
• 只有当 \(U = \mathbb{R}^3\) 时，\(\dim U = 3 = \dim V\)。

习题 13：设X和Y是有限维向量空间V的两个子空间，已知\(X + Y\)和\(X \cap Y\)均为V的子空间，证明：

\(\dim X + \dim Y – \dim(X \cap Y) = \dim(X + Y)\)

（此公式称为子空间的维数公式，类似于集合的容斥原理 \(|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|\)，这里把 “集合大小” 换成 “子空间维度”）

矩阵 A 的列空间 (The Column Space of A)

定义 3: 列空间是由矩阵的列向量线性组合形成的集合。矩阵 A 的列空间用 \(Col(A)\) 表示。

• 与 \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 的联系:事实 1: 当且仅当 \(\boldsymbol{b}\) 属于 \(Col(A)\)，\(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) 可解。即 \(C(A) = \{A\boldsymbol{x}\}\)。
• 与矩阵所在的高维空间的联系:对于一个 m 行 n 列的矩阵，由于矩阵中的每个列向量 (由 m 个实数组成) 都属于 \(\mathbb{R}^m\)，所以 \(C(A)\) 是 \(\mathbb{R}^m\) (而不是 \(\mathbb{R}^n\)) 的一个子空间。比如对于如下矩阵 A，向量 \(\boldsymbol{x}\)，以及 \(\boldsymbol{b} = A\boldsymbol{x}\):

3.2 矩阵A的零空间：解\(Ax = 0\) (The Nullspace of A)

对于一个\(m * n\)的矩阵A：不同于列空间描述的是矩阵A内所有列的线性组合，以及\(Ax = b\)中b的所有可能的值；零空间描述的是使得\(Ax = 0\)的x的所有解。

矩阵A的列空间是\(R^m\)的一个子空间，而矩阵A的零空间是\(R^n\)的一个子空间（因为是m行n列）。
简单检查一下\(Ax = 0\)中的x的所有解是否能构成一个子空间，首先零向量是其中一个解，此外，若\(Ax = 0\)，\(Ay = 0\)那么\(A(x + y) = 0\)，并且\(A(cx) = 0\)。我们也同样可以验证\(Ax = b\)中的x的所有解不能构成一个子空间，因为零向量不是其中的一个解。
我们习惯用\(N(A)\)表示矩阵A的零空间。
对于一个\(m * n\)的矩阵A，零空间描述的是使得\(Ax = 0\)的x的所有解，并且是\(R^n\)的一个子空间。

线性无关与基

设V是一个向量空间，\(v_1, \cdots, v_n \in V\)。表达式\(\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n\)（其中\(\lambda_i\)为实数，即标量）称为向量\(v_1, \cdots, v_n\)的一个线性组合。

定义 3：设V是一个向量空间。若仅当\(\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0\)时，才有\(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = 0_V\)成立，则称向量组\(v_1, \cdots, v_n\)是线性无关的。

若向量组\(\{v_1, \cdots, v_n\}\)不是线性无关的，则称其为线性相关的。

生成组与张成空间

定义 4：设\(v_1, \cdots, v_n \in V\)是一个向量组。该向量组的张成空间（记为\(Span(v_1, \cdots, v_n)\)或\(\langle v_1, \cdots, v_n \rangle\)）是由该向量组所有线性组合构成的集合，即：
\(Span(v_1, \cdots, v_n) = \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \mid (\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n \right\}\)

定义 5：若向量组\(\{v_1, \cdots, v_n\} \subset V\)的张成空间等于V（即\(Span(v_1, \cdots, v_n) = V\)），则称该向量组是V的一个生成组。

要判断向量组\(\{u, v, w\}\)是否是\(\mathbb{R}^3\)的生成组，需看是否任意\(\mathbb{R}^3\)中的向量都能由u、v、w线性表示，这等价于由u、v、w构成的矩阵的秩是否为3（因为\(\mathbb{R}^3\)的维数是3）。

首先，构造矩阵\(A = \begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&-1\end{pmatrix}\)。

然后，对矩阵A进行初等行变换：

• 第一行保持不变：\(R_1: (1, 0, 1)\)。
• 第二行\(R_2 = R_2 + R_1\)，得到\((-1 + 1, 1 + 0, 0 + 1)=(0, 1, 1)\)。
• 第三行\(R_3 = R_3 + R_2\)（这里的\(R_2\)是变换后的第二行），得到\((0 + 0, -1 + 1, -1 + 1)=(0, 0, 0)\)。

变换后的矩阵为\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，其秩为2，小于3（\(\mathbb{R}^3\)的维数）。

根据向量组生成空间的秩的性质，向量组\(\{u, v, w\}\)生成的空间的维数是2，而\(\mathbb{R}^3\)的维数是3，所以不是任意\(\mathbb{R}^3\)中的向量都能由u、v、w线性表示。

因此，向量组\(\{u, v, w\}\)不是\(\mathbb{R}^3\)的生成组

矩阵列空间和向量组的张成空间的区别：

基与向量空间的维数

定义 6：若向量组\(\{v_1, \cdots, v_n\} \subset V\)满足以下两个条件，则称其为向量空间V的一个基：

1. 线性无关；
2. 是V的生成组。

注 1：需要注意的是，基是向量序列而非单纯的向量集合，这意味着构成基的向量的顺序是有意义的。

例 8：\(\mathbb{R}^n\)的标准基是最重要的基之一。设\(e_i\)是第 i 个分量为 1、其余分量均为 0 的向量。例如，在\(\mathbb{R}^2\)中，\(e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)，\(e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)；在\(\mathbb{R}^4\)中，

引理 1（基的关键性质）：若\(\{v_1, \cdots, v_n\}\)是向量空间V的一个基，则V中的每一个元素v都能唯一地表示为\(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\)的形式（其中\(\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in \mathbb{R}\)）

一个向量空间可以有多个不同的基。首先，由于基的顺序有意义，若\(\{v_1, \cdots, v_n\}\)是基，则\(\{v_n, \cdots, v_1\}\)也是基。更非平凡的例子是：若\(\{v_1, \cdots, v_n\}\)是基，则\(\{v_1, v_1 + v_2, \cdots, v_n\}\)（仅第一个向量不变，其余向量变为前一个向量与自身的和）也是基。

向量空间存在多个基这一性质非常有用，因为同一个元素v在不同基下的表示可以反映出v的不同性质，因此不同的基为我们提供了观察向量空间元素的不同视角。

定义 7：设V是一个存在生成组的向量空间，则V的维数定义为其任意一个基所含向量的个数。

由于一个向量空间可以有多个基，我们需要证明所有基所含向量的个数都相同，即维数是向量空间的固有属性。

定理 1：设V是一个向量空间，若向量组\(u_1, \cdots, u_m\)是V的生成组，且向量组\(v_1, \cdots, v_n\)是V中的线性无关组，则\(m \geq n\)。

由定理 1 可直接推出以下结论：

定理 2：一个向量空间V的任意两个基所含向量的个数都相同。

推论 3：若\(v_1, \cdots, v_k\)是有限维向量空间V中的线性无关组，则\(\dim V \geq k\)。

推论 4：设有限维向量空间V的维数为n，则V中任意\(n + 1\)个向量构成的向量组都是线性相关的。

推论 5：设有限维向量空间V的维数为n，则V中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是V的基。

线性变换

当集合X和Y具有额外结构（如向量空间结构）时，我们关注的是那些能 “保持” 这种结构的函数或映射 —— 对于向量空间而言，就是保持向量加法和数乘运算的映射，即线性变换。

定义 8：设V和W是实向量空间，若映射\(T: V \to W\)满足以下两个条件，则称其为线性变换（或线性映射）

1. 对所有\(\lambda \in \mathbb{R}\)和\(v \in V\)，有\(T(\lambda v) = \lambda T(v)\)（数乘保持性）；
   缩放倍数在线性变化前后不变
2. 对所有\(u, v \in V\)，有\(T(u + v) = T(u) + T(v)\)（加法保持性）。

加法保持：“先把两个东西（向量）合并，再操作”，和 “先分别操作两个东西，再合并”，结果是一样的。
数乘保持：“先把一个东西（向量）放大 k 倍，再操作”，和 “先操作这个东西，再放大 k 倍”，结果是一样的。

引理 3：设\(T: V \to W\)是线性映射，则\(T(0_V) = 0_W\)（线性映射将零向量映射到零向量）

证明：对任意\(v \in V\)，有\(0_V + v = v\)。由于T是线性映射，故\(T(0_V) + T(v) = T(v)\)。两边同时减去\(T(v)\)，得\(T(0_V) = 0_W\)

Kernel, image and the rank-nullity theorem. 核、像与秩 – 零化度定理

对每个线性映射，我们都可以关联两个重要的向量子空间：核与像。

定义 9：设V和W是向量空间，\(T: V \to W\)是线性变换：

1. T的核 Kernel（记为ker T）是V中所有被T映射到\(0_W\)的向量构成的集合，即\(ker T = \{v \in V \mid T(v) = 0_W\}\)；
   被压成零向量的输入：核是 V 里的一个子集，里面装的是所有这样的 v：把 v 丢进 T 这个机器后，输出的是 W 里的零向量 \(0_W\)
2. T的像Image（记为im T）是W中所有能被T映射到的向量构成的集合，即\(im T = \{w \in W \mid \exists v \in V, T(v) = w\}\)
   “机器能产出的所有结果”还是那个 “机器”，它能生产出的所有 “产品”（向量 w），不管原材料 v 是啥，只要机器能做出来的，都属于 “像”。

任意线性映射的核都是定义域空间V的子空间，像都是陪域空间W的子空间（可通过子空间的定义验证）
翻译：
核是 V 的子空间：意思是 “被压成零的输入们” 自己也构成一个小的向量空间（对加法、数乘封闭，包含 V 的零向量）。
像是 W 的子空间：意思是 “机器产出的所有产品们” 自己也构成一个小的向量空间（对加法、数乘封闭，包含 W 的零向量）。

关于为什么输出空间是三维的，但是像作为输出空间中向量的集合却是二维的

设定场景：线性映射 \(T: V \to W\)

• 输入空间 V：所有 “平面向量”（即 2 维向量空间 \(\mathbb{R}^2\)），可以想象成 “一张纸上的所有箭头”，每个箭头有 2 个自由度（左右、上下）。
• 输出空间 W：所有 “空间向量”（即 3 维向量空间 \(\mathbb{R}^3\)），可以想象成 “房间里的所有箭头”，每个箭头有 3 个自由度（左右、上下、前后）。
• 线性映射 T：给纸上的每个箭头（平面向量）“加一个前后方向的分量”，规则是：若输入是平面向量 \(\boldsymbol{v} = (x, y)\)（x = 左右，y = 上下），则输出是空间向量 \(T(\boldsymbol{v}) = (x, y, x+y)\)（z = 前后，由 x 和 y 共同决定）。

第一步：找 “像（\(\text{im}T\)）”—— 机器能输出的所有空间向量

根据映射规则，输出的空间向量必须满足 “z 分量 = x 分量 + y 分量”。比如：

• 输入 \((1, 0)\)（纸上右向箭头）→ 输出 \((1, 0, 1)\)（房间里 “右 + 前” 的箭头）；
• 输入 \((0, 1)\)（纸上上向箭头）→ 输出 \((0, 1, 1)\)（房间里 “上 + 前” 的箭头）；
• 输入 \((2, 3)\)（纸上 “右 2 + 上 3” 的箭头）→ 输出 \((2, 3, 5)\)（房间里 “右 2 + 上 3 + 前 5” 的箭头）。

所以，像 \(\text{im}T\) 就是房间里 “所有 z=x+y 的空间向量” 的集合 —— 这些向量都落在房间里一个 “斜着的平面” 上（不是地面、墙面这种正平面，但确实是一个平面）。

第二步：分析 “像的维度”—— 为什么是 2 维，不是 3 维？

输出空间 \(W = \mathbb{R}^3\) 是 3 维的（房间有 3 个方向），但像只是 “房间里的一个平面”，平面是 2 维的，原因很简单：

输入空间只有 2 个自由度，线性映射只能把这 2 个自由度 “传递” 到输出空间，无法凭空多出第 3 个自由度

第三步：对比 “像” 和 “输出空间” 的区别

• 输出空间 W：房间里所有可能的箭头，包括 “z≠x+y” 的（比如 “右 1 + 上 0 + 前 0” 的箭头 \((1,0,0)\)，z=0≠1+0=1），这些箭头不在像里。
• 像 \(\text{im}T\)：房间里 “z=x+y” 的箭头，只有这些箭头是输入空间能映射到的，其他箭头都 “够不到”。

一句话总结

线性映射的 “像”，是输入空间的 “自由度” 在输出空间里的 “投影”—— 输入有多少个自由度，像最多就有多少个维度，和输出空间本身有多少维度无关。

这个例子里输入只有 2 个自由度（平面向量），所以像再怎么扩展，也只是输出空间（3 维房间）里的一个 2 维平面～

例 12：设\(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\)是线性映射，则T的核与像的可能情况如下：

1. \(ker T = \{0_V\}\)（核仅含零向量）：由秩 – 零化度定理，\(\dim im T = 3\)，因此像为\(\mathbb{R}^4\)中维数为 3 的子空间（可由一个线性方程\(ax + by + cz + dt = 0\)定义）；
2. ker T是\(\mathbb{R}^3\)中经过原点的直线（可由两个线性方程\(\alpha x + \beta y + \gamma z = 0\)和\(\alpha’ x + \beta’ y + \gamma’ z = 0\)定义，其中\((\alpha, \beta, \gamma)\)与\((\alpha’, \beta’, \gamma’)\)不共线）：此时\(\dim ker T = 1\)，故\(\dim im T = 2\)，像为\(\mathbb{R}^4\)中维数为 2 的子空间；
3. ker T是\(\mathbb{R}^3\)中经过原点的平面（\(\dim ker T = 2\)）：此时\(\dim im T = 1\)，像为\(\mathbb{R}^4\)中维数为 1 的子空间；
4. \(ker T = \mathbb{R}^3\)（核为整个定义域）：此时T是零映射，故\(im T = \{0_W\}\)（像仅含零向量）。

解释：

情况 1：核只有零向量（\(\text{ker}T = \{0_V\}\)）

• 核的意思：三维空间里，只有 “零向量（没东西）” 被机器运走后，会变成四维空间的零向量（啥也没运到）。
• 像的情况：因为 “没浪费多少货物”（只有零向量被浪费），所以机器能把三维空间里几乎所有向量都运到四维空间里，且运到的范围是四维空间中一个 “3 维子空间”（可以理解为四维空间里一个很大的 “区域”，用一个线性方程就能圈出来，比如 \(ax + by + cz + dt = 0\)）。

情况 2：核是三维里过原点的直线（\(\text{ker}T\) 是直线）

• 核的意思：三维空间里，有一条 “直线上的所有向量”（比如从原点出发的某条直线上的货物），被机器运走后，都变成四维空间的零向量（这些货物白运了，没送到有效位置）。
• 像的情况：因为 “浪费了一条直线的货物”，所以机器能运到四维空间的范围变小了，是一个 “2 维子空间”（比情况 1 的范围小，是四维里的一个平面类区域）。

情况 3：核是三维里过原点的平面（\(\text{ker}T\) 是平面）

• 核的意思：三维空间里，有一个 “平面上的所有向量”（比如从原点出发的某张平面上的货物），被机器运走后，都变成四维空间的零向量（浪费了一整个平面的货物）。
• 像的情况：浪费更多了，机器能运到四维空间的范围更小，是一个 “1 维子空间”（四维里的一条直线类区域）。

情况 4：核是整个三维空间（\(\text{ker}T = \mathbb{R}^3\)）

• 核的意思：三维空间里所有向量（所有货物），被机器运走后，都变成四维空间的零向量（全浪费了，啥也没送到）。
• 像的情况：机器等于 “白干”，四维空间里只有零向量（啥也没运到），这时候机器就是 “零映射”（啥也不输出）。

引理 4：线性映射\(T: V \to W\)是单射（ injective ）的充要条件是\(ker T = \{0_V\}\)（核仅含零向量）

定义 10：设V和W是有限维向量空间，\(T: V \to W\)是线性映射：

• T的零化度（null T）定义为核ker T的维数，即\(null T = \dim ker T\)；
• T的秩（rk T）定义为像im T的维数，即\(rk T = \dim im T\)。

线性方程组与子空间

现在我们来探讨线性方程组相关运算与核空间、像空间概念之间的一些联系。

齐次线性方程组A⋅x=0的基础解系构成矩阵A的零空间NullA的一个基。

行空间定义：设A∈Mm×n​(R)是一个m×n实矩阵，矩阵A的行空间（记为RowA）是由A的所有行向量的线性组合构成的子空间

定理 8：设A∈Mm×n​(R)，E∈Mm​(R)是可逆矩阵，F∈Mn​(R)是可逆矩阵，则Row(A)=Row(EA)（即左乘可逆矩阵不改变矩阵的行空间），且Col(A)=Col(AF)（即右乘可逆矩阵不改变矩阵的列空间）

线性映射的矩阵表示

线性映射是抽象的。但只要知道线性变换在某个基下的作用，就能知道它在整个向量空间中的作用

下面证明这一点：

设\(T: V \to W\)是一个线性变换，且已知V的一个基\(B = \{b_1, \cdots, b_n\}\)和W的一个基\(C = \{c_1, \cdots, c_m\}\)。

对于任意\(v \in V\)，根据基的定义，v可表示为\(v = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i b_i\)（其中\(\lambda_i \in \mathbb{R}\)）。由线性映射的性质可得：

\(T(v) = T\left( \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i b_i \right) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i T(b_i)\)

这表明，若T是线性映射，只要知道\(T(b_1), \cdots, T(b_n)\)（即T在基B中每个向量上的作用），就能确定\(T(v)\)对所有\(v \in V\)的值。

接下来，我们通过将\(T(b_i)\)（\(i = 1, \cdots, n\)）用基\(C = \{c_1, \cdots, c_m\}\)表示，来记录T在基B上的作用。具体来说，我们可以定义标量\(a_{i,j} \in \mathbb{R}\)（\(i = 1, \cdots, n\)；\(j = 1, \cdots, m\)），使得：
\(T(b_i) = \sum_{j = 1}^{m} a_{i,j} c_j\)

这些标量可以自然地构成一个\(m \times n\)矩阵，这个矩阵就称为线性变换T在 “初始基\(B = \{b_1, \cdots, b_n\}\)” 和 “终止基\(C = \{c_1, \cdots, c_m\}\)” 下的矩阵表示。

矩阵\(Mat_{B,C}(T)\)中，下标有两个字母B和C，分别表示：

• 第一个字母B：初始基，即线性变换T的 “输入空间”V的基。
• 第二个字母C：终止基，即线性变换T的 “输出空间”W的基。

简单说，\(Mat_{B,C}(T)\)描述的是：“从V的基B，到W的基C，线性变换T的矩阵表示”

定义 12：设\(T: V \to W\)是线性变换，\(B = \{b_1, \cdots, b_n\}\)是V的基，\(C = \{c_1, \cdots, c_m\}\)是W的基。

若标量\(\{a_{i,j}\}_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq m}}\)满足\(T(b_i) = \sum_{j = 1}^{m} a_{i,j} c_j\)（对所有\(1 \leq i \leq n\)），则称矩阵\(Mat_{B,C}(T) = (a_{i,j})\)（\(m \times n\)矩阵）为线性变换T在初始基B和终止基C下的矩阵。

当线性变换\(T: V \to V\)是从向量空间V到自身的映射时，若初始基和终止基都取为B，则T在基B下的矩阵记为\(Mat_{B}(T)\)。

注 5：矩阵\(Mat_{B,C}(T)\)的第i列对应于向量\(T(b_i)\)在基C下的坐标表示。

注 6：基B和C中向量的顺序对矩阵\(Mat_{B,C}(T)\)的构造是有影响的。改变基中向量的顺序，得到的矩阵通常也会不同。

例 14：设线性变换\(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\)定义为\(T\left( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a + b \\ 3a – b \\ 2a + b \end{pmatrix}\)。

首先验证T是线性映射（略，可根据定义直接验证）。现在我们来求T在基\(B = \{e_1, e_2\}\)（\(\mathbb{R}^2\)的标准基，其中\(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)，\(e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)）和基\(C = \{e_1′, e_2′, e_3’\}\)（\(\mathbb{R}^3\)的标准基，其中\(e_1′ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)，\(e_2′ = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)，\(e_3′ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)）下的矩阵。

首先计算T在基B中每个向量上的作用：

\(T(e_1) = T\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 + 0 \\ 3 \times 1 – 0 \\ 2 \times 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot e_1′ + 3 \cdot e_2′ + 2 \cdot e_3’\)

\(T(e_2) = T\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 + 1 \\ 3 \times 0 – 1 \\ 2 \times 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot e_1′ + (-1) \cdot e_2′ + 1 \cdot e_3’\)

根据定义，矩阵\(Mat_{B,C}(T)\)的第 1 列是\(T(e_1)\)在基C下的坐标\((1, 3, 2)^T\)，第 2 列是\(T(e_2)\)在基C下的坐标\((1, -1, 1)^T\)，因此：

\(Mat_{B,C}(T) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

例 15：设\(V = \mathbb{R}_{\leq 3}[x]\)是所有次数不超过 3 的一元多项式构成的向量空间，\(D: V \to V\)是微分映射（即\(D(p(x)) = p'(x)\)），\(B = \{1, x, x^2, x^3\}\)是V的一个基。

计算D在基B中每个元素上的作用，并将结果用基B表示：

\(D(1) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3\)

\(D(x) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3\)

\(D(x^2) = 2x = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3\)

\(D(x^3) = 3x^2 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 3 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3\)

因此，微分映射D在基B下的矩阵为：

\(Mat_{B}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

定理 9：设S:U→V和T:V→W是线性映射，且：
(1) B={b1​,⋯,bp​}是U的基；
(2) C={c1​,⋯,cm​}是V的基；
(3) D={d1​,⋯,dl​}是W的基。

则有MatB,D​(T∘S)=MatC,D​(T)⋅MatB,C​(S)（即复合映射的矩阵等于两个线性映射的矩阵的乘积，且乘法顺序与映射复合顺序一致

向量空间的不同基能为我们提供观察其元素的不同视角 —— 回顾一下关于两像素图像的例子，这一思路同样适用于线性映射。一个在线性映射在某组基下可能表现得复杂，但当选择合适的基后，其作用会变得更易于理解。

Vector space isomorphisms 向量空间的同构

定义 13：既是线性映射又是双射的映射被称为同构映射。若存在从向量空间V到向量空间W的同构映射T:V→W，则称V与W是同构的向量空间，记作V≅W。

1. 单射：空间 V 里不同的向量，映射到 W 后还是不同的，不会出现 “两个 V 的向量对应同一个 W 的向量” 的情况。
2. 满射：空间 W 里的每一个向量，都能在 V 里找到至少一个向量和它对应，不会出现 “W 里有向量找不到原像” 的情况。
3. 双射就是单射 + 满射，意味着 V 和 W 的向量能 “一一对应”

所有 3 维列向量构成的实向量空间，与所有 3 维行向量构成的实向量空间，虽然是不同的向量空间，但本质上是相同的 —— 不存在某种向量空间性质是其中一个空间具有而另一个空间不具有的。同构的向量空间具有完全相同的向量空间性质，例如，它们的维数一定相等。
定理 14：若V≅W，则dimV=dimW。

定义 15：设V是一个实向量空间，其基为\(\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \cdots, \mathbf{b}_n\}\)。那么，将向量\(\mathbf{v}\)映射到\([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\)的线性映射\([\cdot]_{\mathcal{B}}: V \to \mathbb{R}^n\)是一个同构（映射）。

解释：

• 实向量空间V：这里的向量空间是定义在实数域\(\mathbb{R}\)上的，向量的数乘运算中的数是实数。
• 基\(\mathcal{B}\)：基是向量空间V中一组线性无关的向量，且V中任意向量都可以由这组基线性表示。
• 坐标映射\([\cdot]_{\mathcal{B}}\)：对于V中的向量\(\mathbf{v}\)，它在基\(\mathcal{B}\)下可以唯一地表示为\(\mathbf{v} = a_1\mathbf{b}_1 + a_2\mathbf{b}_2 + \cdots + a_n\mathbf{b}_n\)（其中\(a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathbb{R}\)），那么\([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\)就是\(\mathbf{v}\)在基\(\mathcal{B}\)下的坐标向量，这个将\(\mathbf{v}\)映射到其坐标向量\([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\)的过程就是坐标映射。
• 同构：如前面所解释，同构是既是线性映射又是双射的映射。这里的坐标映射\([\cdot]_{\mathcal{B}}\)满足线性性（因为向量的线性组合的坐标等于坐标的线性组合），同时它是双射（每个向量对应唯一的坐标向量，每个坐标向量也对应唯一的向量），所以它是一个同构映射，这也体现了任意n维实向量空间都与\(\mathbb{R}^n\)同构的思想，即它们在结构上是 “一样的”，只是向量的表现形式不同。

注：\([\cdot]_{\mathcal{B}}\)这个符号整体描述的是 “把向量\(\mathbf{v}\)转换为它在基\(\mathcal{B}\)下的坐标向量” 这样一个映射操作。是向量v在基B下的坐标向量（是一个n维列向量）。
这一结论的一个重要推论是，每一个有限维向量空间都与某一列向量空间同构。

如果遇到证明单射和双射的例题再回来看

这个等式揭示了线性变换的矩阵表示与向量坐标之间的核心联系：

• 左边\(Mat_{B,C}(T) \cdot [v]_B\)：
  • \(Mat_{B,C}(T)\)是线性变换T在 “V的基B” 和 “W的基C” 下的矩阵表示（是一个\(m \times n\)矩阵）。
  • \([v]_B\)是向量v在基B下的坐标向量（是一个n维列向量）。
  • 两者相乘（矩阵乘向量）后，得到一个m维列向量。
• 右边\([T(v)]_C\)：
  • \(T(v)\)是向量v经过线性变换T后得到的向量（属于空间W）。
  • \([T(v)]_C\)是\(T(v)\)在基C下的坐标向量（是一个m维列向量）。

等式的意思是：用线性变换T的矩阵表示，乘以原向量v的坐标，就能直接得到变换后向量\(T(v)\)的坐标。这把 “抽象的线性变换” 转化为 “具体的矩阵乘法”，是线性代数中用矩阵研究线性变换的关键桥梁。