Partial derivatives 偏导数 – Skyshin34的博客

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定义

若\(z = f(x, y)\)，且\((x_0, y_0)\)在f的定义域内，那么f在点\((x_0, y_0)\)处关于x的偏导数（也称为z在点\((x_0, y_0)\)处关于x的偏导数）是当\(y = y_0\)保持不变，x变化时所得函数在\(x_0\)处的导数。这个偏导数记为\(f_x(x_0, y_0)\)，其表达式为： \(f_x(x_0, y_0)=\left.\frac{d}{dx}[f(x, y_0)]\right|_{x = x_0}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x}\)

类似地，f在点\((x_0, y_0)\)处关于y的偏导数（也称为z在点\((x_0, y_0)\)处关于y的偏导数）是当\(x = x_0\)保持不变，y变化时所得函数在\(y_0\)处的导数。这个偏导数记为\(f_y(x_0, y_0)\)，其表达式为： \(f_y(x_0, y_0)=\left.\frac{d}{dy}[f(x_0, y)]\right|_{y = y_0}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0, y_0 + \Delta y)-f(x_0, y_0)}{\Delta y}\)

例 1：对于函数\(f(x, y)=2x^3y^2 + 2y + 4x\)，求\(f_x(1, 3)\)和\(f_y(1, 3)\)。
解：因为
\(f_x(x, 3)=\frac{d}{dx}[f(x, 3)]=\frac{d}{dx}[18x^3 + 4x + 6]=54x^2 + 4\)
所以\(f_x(1, 3)=54 + 4 = 58\)。又因为
\(f_y(1, y)=\frac{d}{dy}[f(1, y)]=\frac{d}{dy}[2y^2 + 2y + 4]=4y + 2\)
所以\(f_y(1, 3)=4×3 + 2 = 14\)

然而，通常我们希望省略下标，将偏导数看作变量x和y的函数。这些函数为：
\(f_x(x, y)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x}\)
\(f_y(x, y)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x, y + \Delta y)-f(x, y)}{\Delta y}\)

例 2：对于\(f(x, y)=2x^3y^2 + 2y + 4x\)，求\(f_x(x, y)\)和\(f_y(x, y)\)，并用这些偏导数计算\(f_x(1, 3)\)和\(f_y(1, 3)\)。
解：保持y不变，对x求导可得：
\(f_x(x, y)=\frac{d}{dx}[2x^3y^2 + 2y + 4x]=6x^2y^2 + 4\)
保持x不变，对y求导可得：
\(f_y(x, y)=\frac{d}{dy}[2x^3y^2 + 2y + 4x]=4x^3y + 2\)
因此，
\(f_x(1, 3)=6×1^2×3^2 + 4 = 58\)
\(f_y(1, 3)=4×1^3×3 + 2 = 14\)这与例 1 的结果一致。

对谁求偏导谁就变，其他视为常数

若\(z = f(x, y)\)，那么偏导数\(f_x\)和\(f_y\)也可以用符号\(\frac{\partial f}{\partial x}\)、\(\frac{\partial z}{\partial x}\)以及\(\frac{\partial f}{\partial y}\)、\(\frac{\partial z}{\partial y}\)来表示。

对于\(z = f(x, y)\)在点\((x_0, y_0)\)处的偏导数，一些常见的符号表示有： \(\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x = x_0, y = y_0},\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0, y_0)},\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0, y_0)},\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0),\frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)\)

例 3：若\(z = x^4\sin(xy^3)\)，求\(\frac{\partial z}{\partial x}\)和\(\frac{\partial z}{\partial y}\)。

\(\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x}[x^4\sin(xy^3)]\\ &=x^4\frac{\partial}{\partial x}[\sin(xy^3)]+\sin(xy^3)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^4)\\ &=x^4\cos(xy^3)\cdot y^3+\sin(xy^3)\cdot4x^3\\ &=x^4y^3\cos(xy^3)+4x^3\sin(xy^3) \end{align*}\) \(\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y}[x^4\sin(xy^3)]\\ &=x^4\frac{\partial}{\partial y}[\sin(xy^3)]+\sin(xy^3)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^4)\\ &=x^4\cos(xy^3)\cdot3xy^2+\sin(xy^3)\cdot0\\ &=3x^5y^2\cos(xy^3) \end{align*}\)

例：分别用定义，先代入和后代入

偏导数的几何含义

设\(f(x, y)=x^2y + 5y^3\)。
（a）求曲面\(z = f(x, y)\)在点\((1, -2)\)处x方向的斜率。
（b）求曲面\(z = f(x, y)\)在点\((1, -2)\)处y方向的斜率。
解（a）：保持y不变，对x求导可得\(f_x(x, y)=2xy\)。因此，x方向的斜率为\(f_x(1, -2)= – 4\)，即x每增加一个单位，z以4个单位的速率减少。
解（b）：保持x不变，对y求导可得\(f_y(x, y)=x^2 + 15y^2\)。因此，y方向的斜率为\(f_y(1, -2)=61\)，即y每增加一个单位，z以6个单位的速率增加。

Implicit Partial Differentiation 隐函数求偏导数

例1求球面\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)在点\((\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)和\((\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)处y方向的斜率。

解：

可以分别对z的每个表达式关于y求导，然后在\(x = \frac{2}{3}\)和\(y = \frac{1}{3}\)处计算导数来得到斜率。

然而，对给定方程\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)关于y隐式求导会更高效，因为这样一次求导就能得到两个斜率。进行隐式求导时，把z看作x和y的函数(保留完整)，对等式两边关于y求导，同时把x看作常量：
\(\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{\partial}{\partial y}(1)\)
\(0 + 2y + 2z\frac{\partial z}{\partial y}=0\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}\)
将点\((\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)和\((\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)的y坐标和z坐标代入这个表达式，得到点\((\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)处的斜率为\(-\frac{1}{2}\)，点\((\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)处的斜率为\(\frac{1}{2}\)

例2：假设\(D = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)是一个矩形对角线的长度，该矩形的边长x和y是可以变化的。求当y保持不变x变化时D关于x的变化率公式，并使用这个公式求在\(x = 3\)，\(y = 4\)这一点D关于x的变化率。
解：对等式\(D^{2}=x^{2}+y^{2}\)两边关于x求导可得(对x求偏导，y为常数，z为复合函数—一次函数）
\(2D\frac{\partial D}{\partial x}=2x\)，因此\(D\frac{\partial D}{\partial x}=x\)
当\(x = 3\)，\(y = 4\)时，\(D = 5\)，由此可得：
\(\left.5\frac{\partial D}{\partial x}\right|_{x = 3,y = 4}=3\)，即\(\left.\frac{\partial D}{\partial x}\right|_{x = 3,y = 4}=\frac{3}{5}\)
所以，在点\((3,4)\)处，x每增加一个单位，D以\(\frac{3}{5}\)个单位的速率增加。

快速计算公式：

没有必要记这个公式，和上面视为常数的计算结果是相同的

偏导数与连续性

如果我没转专业的话估计很难再搞明白这个了，真的很感慨

与单变量函数的情况不同，多变量函数偏导数的存在并不能保证函数是连续的。下面的例子说明了这一事实

例：设
\(f(x,y)=\begin{cases}-\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},(x,y)\neq(0,0)\\0,(x,y)=(0,0)\end{cases}\)
（a）证明\(f_{x}(x,y)\)和\(f_{y}(x,y)\)在所有点\((x,y)\)处都存在。
（b）解释为什么f在点\((0,0)\)处不连续。
解（a）：
\(f_{x}(x,y)=-\frac{(x^{2}+y^{2})y – xy(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{x^{2}y – y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\)
\(f_{y}(x,y)=-\frac{(x^{2}+y^{2})x – xy(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{xy^{2}-x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\)
f在点\((0,0)\)处是否有偏导数并不明显，如果有，这些导数的值是多少也不清楚。为了回答这个问题，我们需要使用偏导数的定义：
\(f_{x}(0,0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{0 – 0}{\Delta x}=0\)
\(f_{y}(0,0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{0 – 0}{\Delta y}=0\)
这表明f在点\((0,0)\)处有偏导数，并且这两个偏导数在该点的值都为0。
解（b）：
\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}-\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\)不存在。因此，f在点\((0,0)\)处不连续。

多元函数的偏导数 – 全微分

如果\(f(x,y,z)=x^{3}y^{2}z^{4}+2xy + z\)，那么
\(f_{x}(x,y,z)=3x^{2}y^{2}z^{4}+2y\)
\(f_{y}(x,y,z)=2x^{3}yz^{4}+2x\)
\(f_{z}(x,y,z)=4x^{3}y^{2}z^{3}+1\)
\(f_{z}(-1,1,2)=4\times(-1)^{3}\times(1)^{2}\times(2)^{3}+1=-31\)