基础概念
- Sample place样本空间 Ω ：实验所有结果的集合。注意不能有重复的结果
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Event place事件空间 F ：表示实验的后果。即样本空间的幂集 F=P (Ω)。事件空间由我们关心的所有事件组成，事件可以是空集、单个结果或结果的集合，互补事件\(A^c = \Omega \setminus A\) 由不在 A 中的所有结果组成
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离散概率和连续概率：Ω 元素可以列出时和样本空间的元素无法列出时：例如，物理量在连续尺度上，如温度、高度
一台机器从一批零件中选取一个零件，并记录以下结果之一：{有缺陷，轻微缺陷，良好}。 (a) 定义样本空间。 样本空间是所有可能结果的集合： \(S = \{\text{有缺陷},\text{轻微缺陷},\text{良好}\}\) (b) 列出事件空间中的所有子集。 为方便起见，对结果进行如下表示： \(D = \text{有缺陷}\)，\(SD = \text{轻微缺陷}\)，\(G = \text{良好}\) 那么样本空间为\(S = \{D, SD, G\}\)，事件空间（S的幂集）为： \(\mathcal{P}(S)=\{\emptyset,\{D\},\{SD\},\{G\},\{D, SD\},\{D, G\},\{SD, G\},\{D, SD, G\}\}\)
样本空间不包括重复的项，实际计算概率时要算进重复的情况
Suppose we pick a letter at random from the word HILLINGDON. What is the sample space and what probabilities should be assigned to the outcomes?
样本空间 \(\Omega: \{H, I, L, N, G, D, O\}\)
\(P(H) = \frac{1}{10}, \) \(P(I) = P(L) = P(N) = \frac{2}{10}, \) \(P(G) = P(D) = P(O) = \frac{1}{10}.\)
奇偶例题：
对于Ω={1,2,3,4,5,6}，事件 A={分数是奇数} 是什么？事件 B={分数小于 3} 是什么？事件 C={分数是奇数且小于 3} 是什么？有多少不同的事件？
A={1,3,5}。B={1,2}。C=A∩B={1}。∣P (Ω)∣=\(2^{6}\)=64。事件空间是 F=P ({1,2,3,4,5,6})，然后 ∣F∣=26=64∣F∣=26=64
3骰子问题：
样本空间为\(\Omega = \{(x,y,z) \mid 1 \leq x,y,z \leq 6\}\)，则\(|\Omega| = 6^3 = 216\) – 每枚骰子有 6 个可能的结果，三枚骰子的总结果数为： \(6×6×6 = 216\)
事件A：恰好有两枚骰子显示相同的点数。
- 选择哪两枚骰子相同：有 C32 = 3种选择（骰子 1 和 2 相同，骰子 1 和 3 相同，骰子 2 和 3 相同）。
- 选择相同的点数：可以是 1 到 6 中的任意一个，共 6 种选择。
- 选择第三枚骰子的点数：必须与前两枚不同，有 5 种选择（因为骰子有 6 个面，减去已经选择的那个点数）。
因此，事件A的有利结果数为： \(3×6×5 = 90\) 概率： \(P(A)=\frac{90}{216}=\frac{5}{12}\)
事件B：为了系统地计算满足\(x + y + z\leq8\)的有序三元组数量，可以固定x的值，然后对每个x计算满足\(y + z\leq8 – x\)的\((y,z)\)的数量。以下是具体步骤：
- \(x = 6\)
- 条件：\(y + z\leq2\)
- 可能的\((y,z)\)：
- \((1,1)\)→1
- 总数：1
- \(x = 5\)
- 条件：\(y + z\leq3\)
- 可能的\((y,z)\)：
- \((1,1),(1,2),(2,1)\)→3
- 总数：3 省略 验证总数 将以上结果相加： \(1(x = 6)+3(x = 5)+6(x = 4)+10(x = 3)+15(x = 2)+21(x = 1)=56\) 因此，\(|B| = 56\)。 概率计算 总可能结果数为\(6×6×6 = 216\)，所以： \(\mathbb{P}(B)=\frac{56}{216}=\frac{7}{27}\)
事件C：The values shown by the dice are all different（三个骰子点数各不相同。 ） 枚举方法：
- 第一枚骰子：6 种点数
- 第二枚骰子：不能等于第一枚→5 种
- 第三枚骰子：不能等于前两枚→4 种 考虑顺序（可区分骰子）： \(6×5×4 = 120\) 概率： \(P(C)=\frac{120}{216}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\)
扑克牌：
样本空间\(\Omega\) 由从 52 张牌中选取 5 张牌的所有可能组合构成；\(|\Omega|=C52 5\)
事件 A：5 张牌花色相同。一副牌有 4 种花色（黑桃、红桃、方块、梅花），每种花色有 13 张牌。
- 步骤 1：选择一种花色（4 种选择）。
- 步骤 2：从该花色的 13 张牌中选 5 张牌（C13 5种选择）。
因此，事件 A 的有利情况数为： \(|A| = 4\times C13 5 = 4\times1,287 = 5,148\)
概率： \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{5,148}{2,598,960}=\frac{429}{216,580}\approx0.00198\ (\text{约}0.198\%)\)
事件 B：5 张牌中恰好 4 张是黑桃，另 1 张是非黑桃。
- 步骤 1：从 13 张黑桃中选 4 张C13 4种选择）。
- 步骤 2：从剩下的 39 张非黑桃牌中选 1 张（C39 1种选择）。
因此，事件 B 的有利情况数为： \(|B| = C13 4\times C39 1 = 715\times39 = 27,885\)
概率： \(P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{27,885}{2,598,960}=\frac{1,859}{173,264}\approx0.0107\ (\text{约}1.07\%)\)
额外说明：实际上，不需要额外乘以C5 4，原因如下：
- C13 4已经计算了从 13 张黑桃中任意选 4 张的所有可能组合。
- C39 1是从剩下的 39 张非黑桃牌中选 1 张。
- 这两步的乘积天然覆盖了 “4 黑桃 + 1 非黑桃” 的所有排列情况，无需再额外选择位置
硬币正反面：
幂集的大小公式
- 对于一个有限集合 Ω，如果 ∣Ω∣=n（即 Ω 有 n 个元素），它的幂集 P (Ω) 的大小为：
$$| \mathcal{P}(\Omega) | = 2^{n}$$
因为每个元素有两种选择：要么包含在某个子集中，要么不包含。
概率函数性质
如果 A1∩A2=∅则 P (A1∪A2)=P (A1)+P (A2)。即：当事件不相交时，A1 或 A2 的概率是各个概率的总和。换句话说，如果一个事件可以通过两种不同的方式实现，且这两种方式不能同时发生，那么这个事件的概率就是两个组成事件的概率之和。
以下是 P 的一些性质，它们是定义的直接结果。设 A 和 B 是两个事件。
- \(P (A^c) = 1 – P (A)\)；特别是 P (∅)=0
- \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)\)
- 如果 A⊆B，则 \(P (A) \leq P (B)\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
例题
先全排列再将重复的情况去除
- How many distinct 9 digit numbers can be formed from the digits {1,4,5,6,9,6,5,4,1} if we insist that odd digits have to be placed in odd position?Given a 9 digit number formed from these digits, what is the probability that odd digits are placed in odd position?
奇数有5个（1, 5, 9, 1, 5），需要放入5个奇数位。由于1和5各重复2次，排列数为：$$\frac{A(5,5) }{2! \times 2!} = \frac{120}{4} = 30$$
偶数有4个（4, 6, 4, 6），需要放入4个偶数位。由于4和6各重复2次，排列数为：$$ \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$$
奇数和偶数的排列是独立的，因此总排列数为：\(30 \times 6 = 180\)
概率：总排列数 \(\frac{9!}{(2!)^4} = 22,680\) 概率：\(\frac{180}{22,680} = \frac{1}{126}\)
- N people enter a room and shake hands. How many handshakes have taken place?
$$C(N, 2) = \frac{N \times (N-1)}{2}$$
1个人与另外N-1个人握一次手，有N个人。这个过程，一次握手算了2个人各一次，所以除2
