线性函数
首先，若能确定输入与输出之间的变换关系，且输出与输入成比例，那么我们就称这种现象为线性现象。
生活里很多复杂问题，在 “小范围” 内都能近似成简单的线性关系。比如物理中的胡克定律（弹簧弹力和伸长量成正比），虽然只在一定范围内成立，但很多自然现象（比如势能变化对应的力）在 “稳定点附近” 都符合这种近似；再比如复杂的曲线函数，在某个点附近放大看，也会接近一条直线（对应线性函数）。线性代数就是把这种 “近似规律” 转化为数学工具，帮我们简化问题。
线性代数的关键发现是：线性映射和矩阵是一一对应的—— 每个线性映射都能写成矩阵的形式，反过来每个矩阵也对应一个线性映射。
例题：证明算子是线性的
矩阵运算
正交矩阵
几何意义就是将单位矩阵做一些简单的变换旋转、镜像x
若矩阵A满足\(A^T = A^{-1}\)，则称A为正交矩阵
\(A A^T = E\)（由 \(A^T A = E\) 可推出，因方阵左逆等于右逆）。
线性方程组
齐次/非齐次线性方程组的基础解系和通解 – Skyshin34的博客
例题：
求解方程\(A \cdot x = b\)，其中\(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ a & -1 \end{pmatrix}\)，\(b = \begin{pmatrix} b \\ 1 \end{pmatrix}\)，分析解的情况与参数a、b取值的关系。
对增广矩阵 \(\overline{A} = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ -1 & 2 & b \end{pmatrix}\) 做初等行变换：
- 交换第一行和第二行（使第一列第一个元素非负，方便计算）：\(\overline{A} \rightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
- 第一行乘以 a 加到第二行，消去第二行第一列的元素：\(\overline{A} \rightarrow{R_2 + aR_1} \begin{pmatrix} -1 & 2 & b \\ 0 & 2a + 1 & 1 + ab \end{pmatrix}\)
情况 1：\(2a + 1 \neq 0\)（即 \(a \neq -\frac{1}{2}\)）
此时增广矩阵的阶梯形有 2 个非零行，因此 \(\text{rank}(A) = \text{rank}(\overline{A}) = 2\)，方程组有唯一解。
从阶梯形回代求解：
- 第二行：\((2a + 1)x_2 = 1 + ab x_2 = \frac{ab + 1}{2a + 1}\)
- 第一行：\(-x_1 + 2x_2 = b x_1 = 2x_2 – b = \frac{2(ab + 1)}{2a + 1} – b = \frac{2 – b}{2a + 1}\)与行列式方法得到的唯一解一致。
情况 2：\(2a + 1 = 0\)（即 \(a = -\frac{1}{2}\)）
此时增广矩阵的阶梯形为：
\(\overline{A} \to \begin{pmatrix} -1 & 2 & b \\ 0 & 0 & 1 – 2b \end{pmatrix}\)
- 若 \(1 – 2b \neq 0\)（即 \(b \neq \frac{1}{2}\)），增广矩阵有 2 个非零行，但系数矩阵的秩 \(\text{rank}(A) = 1\)（第一行非零，第二行全零），因此 \(\text{rank}(A) \neq \text{rank}(\overline{A})\)，方程组无解。
- 若 \(1 – 2b = 0\)（即 \(b = \frac{1}{2}\)），增广矩阵的阶梯形为：\(\overline{A} \to \begin{pmatrix} -1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)此时 \(\text{rank}(A) = \text{rank}(\overline{A}) = 1\)，方程组有无穷多解
特征向量
大部分向量在变换中都离开了张成的空间，而没有变化的即矩阵对其的作用就像标量一样只是拉伸或伸缩
这些特殊的向量被称为变换的特征向量，每个特征向量都有一个所属的值，被称为”特征值“即衡量特征向量在变换中拉伸或压缩的因子,所以特征值的乘积才等于行列式，缩放倍数
特征向量就是就是变换的旋转轴，而且把一个三维旋转绕某个轴转动一定角度，比考虑相应的3×3矩阵直观的多
设M为矩阵，若存在标量\(\lambda\)，使得\(\det(M – \lambda I) = 0\)（其中I为单位矩阵），则称\(\lambda\)为M的特征值。若\(\lambda\)为特征值，则存在至少一个非零向量x，使得\(M \cdot x = \lambda x\)，此时x称为M对应于特征值\(\lambda\)的特征向量。
二维线性变换不一定有特征向量，比如绕原点旋转的矩阵。没有实数解代表没有特征向量
几重根就表明最多对应几个线性无关的特征向量
若存在由矩阵M的特征向量构成的一组基，则称M为可对角化矩阵。
对角是因为这个求出来的是特征向量构成的新基下的变换，特征向量不变，就只是拉伸，所以只能是对角矩阵，元素就是特征向量拉伸的倍数
可对角化的充要条件：有n个线性无关的特征向量
综上如果要计算一个普通矩阵（特征向量足够多能够张成全空间）的100次幂，一种更容易的做法是先变换到特征基，在那个坐标系中计算100次幂，然后转化为回标准坐标系
二次曲线的分类
二次曲线的矩阵表示
二次曲线 \(ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) 可表示为矩阵形式：
\(\mathbf{x}A\mathbf{x}^T + 2\mathbf{d}\mathbf{x}^T + c = 0\)
其中：
- \(\mathbf{x} = (x\ \ y)\)（行向量），
- 对称矩阵 \(A = \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix}\)（二次项的系数矩阵，因 \(A^T = A\)，是对称矩阵），
- 向量 \(\mathbf{d} = (g\ \ f)\)（一次项的系数向量）。
对称矩阵的正交相似对角化
实对称矩阵的正交相似对角化定理指出：对于 n 阶实对称矩阵 A（即 A 是元素为实数，且满足 \(A^T = A\) 的矩阵） ，必定存在 n 阶正交矩阵 Q（满足 \(Q^TQ = QQ^T = E\)，且 \(|Q| = \pm1\)），使得 \(Q^{-1}AQ = Q^TAQ=\Lambda\)，其中 \(\Lambda\) 是对角矩阵，其主对角线上的元素为矩阵 A 的 n 个特征值，正交矩阵 Q 的列向量是 A 对应特征值的单位正交特征向量。
计算过程
平面旋转变换（变量替换）：
正交矩阵 P 对应平面旋转变换，设新坐标 \((x’, y’)\) 与原坐标 \((x, y)\) 的关系为：\(\mathbf{x} = \mathbf{x}’ P\)，（即原坐标行向量 \(\mathbf{x}\) 是新坐标行向量 \(\mathbf{x}’ = (x’\ \ y’)\) 与旋转矩阵 P 的乘积）
代入原方程并化简
将 \(\mathbf{x} = \mathbf{x}’ P\) 代入二次曲线的矩阵形式 \(\mathbf{x}A\mathbf{x}^T + 2\mathbf{d}\mathbf{x}^T + c = 0\)：
- 二次项部分：\(\mathbf{x}A\mathbf{x}^T = (\mathbf{x}’ P) A (P^T \mathbf{x}’^T) = \mathbf{x}’ (P A P^T) \mathbf{x}’^T\)。由事实 1，\(P A P^T = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\)，因此二次项变为 \(\lambda_1 x’^2 + \lambda_2 y’^2\)（交叉项 xy 被消去）。
- 一次项部分：\(2\mathbf{d}\mathbf{x}^T = 2\mathbf{d} (P^T \mathbf{x}’^T) = 2 (\mathbf{d} P^T) \mathbf{x}’^T\)。令 \(\mathbf{d} P^T = (\phi\ \ \psi)\)，则一次项变为 \(2\phi x’ + 2\psi y’\)。
- 常数项 c 保持不变
由上述定理可推出以下定理：
定理 1：存在平面旋转变换，可将二次曲线（6）转化为如下形式的二次曲线：
\(\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + 2\phi x + 2\psi y + c = 0\)
通过分析上述方程，可对二次曲线进行分类。
情况 1：\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)均不为零。
此时，令
\(x_1 = x + \frac{\phi}{\lambda_1}, \quad y_1 = y + \frac{\psi}{\lambda_2}\)
则二次曲线方程可转化为：
\((9) \quad \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 y_1^2 = p\)
其中，\(p = \frac{\phi^2}{\lambda_1} + \frac{\psi^2}{\lambda_2} – c\)。根据\(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)和p的取值，可进一步分为以下几类：
- 若\(\lambda_1 > 0\)，\(\lambda_2 > 0\)，\(p > 0\)，则为椭圆；
- 若\(\lambda_1 > 0\)，\(\lambda_2 < 0\)，\(p > 0\)，则为双曲线；
- 若\(\lambda_1 < 0\)，\(\lambda_2 < 0\)，\(p > 0\)，则为空集（无实轨迹）；
- 若\(\lambda_1 > 0\)，\(\lambda_2 > 0\)，\(p = 0\)，则为原点（退化的椭圆）；
- 若\(\lambda_1 > 0\)，\(\lambda_2 < 0\)，\(p = 0\)，则为两条相交直线（退化的双曲线），方程为\(\sqrt{\lambda_1} x_1 \pm \sqrt{-\lambda_2} y_1 = 0\)。
情况 2：\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)中有一个为零（不妨设\(\lambda_1 \neq 0\)，\(\lambda_2 = 0\)）。
此时，令\(x_1 = x + \frac{\phi}{\lambda_1}\)，则二次曲线方程可转化为：
\((10) \quad \lambda_1 x_1^2 + 2\psi y = p\)
根据\(\lambda_1\)和\(\psi\)的取值，可进一步分为以下几类：
- 若\(\lambda_1 \neq 0\)，\(\psi \neq 0\)，则为抛物线；
- 若\(\psi \neq 0\)，\(\lambda_1 = 0\)，则为 x 轴（退化的抛物线）；
- 若\(\psi = 0\)，且\(\lambda_1\)与p同号，则为两条平行直线，方程为\(y = \pm \sqrt{\frac{p}{\lambda_1}}\)；
- 若\(\psi = 0\)，且\(\lambda_1\)与p异号，则为空集（无实轨迹）。
例题：
习题 7：考虑二次曲线 \(3x^{2}+3y^{2}+2xy + 6\sqrt{2}(x + y)+3 = 0\)，以及矩阵 \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\)。
- 证明：2 和 4 是矩阵 A 的特征值；
- 由此推出该二次曲线为椭圆。
要证明一个数是矩阵的特征值，只需验证该数满足矩阵的特征方程 \(|\lambda I – A| = 0\)（其中 I 是单位矩阵）。
对于矩阵 \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\)，单位矩阵 \(I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。
- 当 \(\lambda = 2\) 时：\(\lambda I – A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\)。计算行列式 \(|\lambda I – A|=(-1)\times(-1)-(-1)\times(-1)=1 – 1 = 0\)，所以 2 是矩阵 A 的特征值。
- 当 \(\lambda = 4\) 时：\(\lambda I – A=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\)。计算行列式 \(|\lambda I – A|=1\times1-(-1)\times(-1)=1 – 1 = 0\)，所以 4 是矩阵 A 的特征值。
- 推出该二次曲线为椭圆对于二次曲线 \(ax^{2}+2hxy + by^{2}+2gx + 2fy + c = 0\)，其对应的二次项矩阵为 \(A=\begin{pmatrix}a&h\\h&b\end{pmatrix}\)。当二次项矩阵 A 是实对称矩阵时，可通过正交相似对角化将二次曲线的方程化为标准形式。
