Reference：
【数值计算方法】常微分方程初值问题的数值解 – FE-有限元鹰 – 博客园
前置知识：
函数上标的_代表该函数为预估函数，在机器学习中有提到
初值问题与数值解
求微分方程满足初始条件的特解问题称为初值问题。然而初值问题并不是总有解析解，事实上很多函数的原函数的很难求得，所以我们求数值解，通过计算y(t)在节点tn处的近似值yn。
比如想直到满足某初始条件的人口增长模型tn年之后大约有多少人，如果满足该模型的微分方程没有解析解，我们只需要计算其在tn处的数值解即可
之所以称为”一阶”，是因为方程中最高阶导数为一阶；称为”标量”，因为仅涉及单个函数 y。
数值解即求初值问题在节点处函数值的近似
微分方程的近似解法，常用的有欧拉法、改进的欧拉法与龙格—库塔法，而其本质都是将初值问题方程离散化，所以也称为初值问题的数值积分方法
欧拉法
将区间 \([0, T]\) 作 \(N\) 等分，每一小区间长度 \(h = \frac{T}{N}\) 称为步长，\(t_n = nh\) 称为节点。根据初值 \(y(0) = y_0\)，代入微分方程可直接解出 \(t = t_0\) 的导数值 \(y’ = f(y_0, t_0)\)。之后再进行迭代最终求得 \(y\)\[
t_{k+1} = t_k + h
\]\[
y_{k+1} = y_k + hf(y_k, t_k)
\]
欧拉方法就是用从 P0出发的折线 P0,P1⋅⋅⋅PN 来作为积分曲线 y = y(x) 的近似解，
例题
改进的欧拉方法-预估校正法
欧拉法计算的是以f(yk,tk)为高的矩形面积，而改进的欧拉法计算的是图中所示的改进的左梯形数值积分的面积。提到面积我们先将欧拉法的公式写为积分的形式：
积分式子中含有位置函数y(t)是我们无法求得解析解的方程,采用数值积分的方法计算其近似值，左侧为上述的欧拉法，右侧为改进的欧拉法(梯形公式)
在步长合理时，显然左梯形的面积更接近实际函数下方面积，故改进的欧拉法实际上效果好于欧拉法，但计算量会复杂很多。一种有效简化计算的方法是：当 $h$ 较小时，先使用显式格式计算合适的预估值 $y_{n+1}$，后利用隐式格式迭代一次计算校正值 $y_{n+1}$，称为预估校正方法。下为一阶预估二阶矫正公式
构造预估校正格式时 , 应该注意阶数的匹配, 例如在式 (5) 中 , 校正公式具有二阶精度 , 而预估公式仅具有一阶精度 . 因为提供的预估精度较差 , 且仅经一次校正 , 校正值的精度不会太高
例题
\( O(h^p) \) 的含义
数值方法中常用大O符号描述误差随步长 h变化的速率，\( O(h^2) \) 读作“大O \( h^2 \)”或“\( h^2 \)”阶项。P为误差阶数，指明步长变化时，误差的变化的几何倍数(注意与编程中的时间复杂度区分，其n是趋于无穷大，而这里的h趋于无穷小)
\( O(h^2) \) 标准定义：“当 \( h \to 0 \) 时，某项的幅度(magnitude)增长不超过常数 \( C \) 倍的 \( h^2 \)”。即
\[A = O(h^2)\]表示存在常数 \( C \)，使得：
\[|A| \leq Ch^2 \quad (h \to 0).\] 意味：A缩小倍数是h缩小倍数的 p 次方
通常不关心 \( C \) 的具体值。因为即使C很大（比如 C=1000），只要 h足够小，也会让模长变得微不足道。在O用于表示误差大小的语境中，O(h2)表示“误差随 h的平方减小”，这也符合采样的规律的，样本数越多，采样越真实
误差分析
误差类型
- 截断误差：由截断数学过程（如忽略高阶项）引起的误差。
- 舍入误差：由数值的有限精度表示引起的误差。
- 局部误差：单步方法中的误差。
- 全局误差：多步方法应用后的累积误差。
组合可以得到局部截断误差和全局截断误差
局部截断误差衡量数值方法在单一步骤中的近似精度，假设前一步的数值解是精确的，即\( y_n = y(x_n) \)，称 \( R_{n+1} = y(x_{n+1}) – y_{n+1} \) 为局部截断误差
对于一般的一步数值方法：\[y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n,),\]
全局误差表示从初始时刻到当前时刻所有步骤的误差累积结果，定义为精确解与数值解在 \( t_n \) 处的差值：\[E_n = y(t_n) – y_n,\]
龙格 – 库塔公式( R-K 方法)
龙格-库塔算法与欧拉法和改进欧拉法类似，其形式为
\[ y_{n+1} = y_n + \text{对积分} \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \, dt \]的近似值
不同于欧拉法用矩形面积、改进欧拉法用梯形面积近似积分，龙格-库塔法用 f(x,y) 在某些点上的函数值的线性组合构造近似计算公式 , 再把近似公式和解的泰勒展开式相比较 , 使使前面的若干项吻合 , 从而获得达到一定精度的数值计算公式
龙格 – 库塔公式是一类公式 , 每确定一组特殊的系数 , 就得到一个特殊的龙格 – 库塔公式
二阶R-K公式
4阶R-K公式
n阶RK方法的局部截断误差和全局截断误差和n阶泰勒级数的相同，都分别为O(h^n+1)和O(h^n)
，比如局部截断误差为O(h^5)，全局误差为O(h^4)。由全局截断误差为h的n阶无穷小我们知道，当步长足够多的时候，误差趋于0
例题
