定义

卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；同时，“卷”还有滑动的含义

卷积的“积”，指的是积分（连续）/加权求和（离散）。

所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。是一种组合数组或函数（而不是数字）的方法

公式

$$(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x – y) g(y) dy$$

性质

数组之间的加法和乘法一样，对数组的卷积也具有以下三个基本性质

交换律：f * g = g * f

结合律：(f * g) * h = f * (g * h) 多重卷积的计算顺序可以随意改变。

分配律：f * (g + h) = (f * g) + (f * h)

平移性：\(f(t – t_0) * g(t) = (f * g)(t – t_0)\)

卷积定理

FT & DFT 傅里叶变换 – Skyshin34的博客参见傅里叶变换性质 – 调频性质部分

香农采样定理

是连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的桥梁，为模拟信号转换为数字信号提供了一个数学准则。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

定理表述：

如果一个信号的带宽是有限的，即信号中不包含任何高于某一最大频率 \( f_{\text{max}} \) 的频率分量，那么我们可以用一个大于或等于该信号最高频率的两倍的采样率 \( f_s \geq 2f_{\text{max}} \) 对该信号进行采样，以便在不丢失信息的情况下重建该信号。

采样率 \(( f_s )\)：每秒钟从信号中采集样本的数量，单位为赫兹 (Hz)。
带宽 \(( f_{\text{max}} )\)：包含谐波的最高频率与最低频率之差，即该信号所拥有的频率范围

抛筛子案例

抛两个骰子，计算两个骰子的各个点数和的出现的概率。

现在思考另一种方式展示这个问题，把两枚骰子的所有可能分别放到一行，然后把第二行翻转，这样所有点数和为7的组合就会纵向对齐（这里很好的解释了卷积的式子里为什么函数g里面是t-x）

案例中隐含假设就没每个骰子向上的概率是相同的，如果不同需要分别计算每组出现的概率再相加

卷积的结果是一个列表，它的第n项定义为把下标ij之和为n的所有元素的乘积累加起来

应用

滑动均值滤波，模糊

每次迭代相当于将数据中的每个元素都乘以1/5，然后将它们加起来 – 求这个小窗口数据的平均值，总的来说，这个过程给了你一个原数据的平滑版本（滑动均值滤波）

如果你在二维上进行类似的操作，就能得到一个把图片变模糊的方法卧槽这不是抗锯齿的算法的模糊化。用一个3×3的网格沿着原图像移动

我们把颜色当作三维向量。将每个向量都乘以1/9然后求和就得到每个颜色通道的平均值，就得到每个颜色通道的平均值。对每个像素都如此计算，相当于每个像素都混杂了一部分到相邻的像素，这就得到了一个比原图更模糊的版本，用术语来说：右图就是原图和旋转180°小网络的卷积（本例中是否旋转无区别）